Avrei bisogno di un aiuto con il seguente esercizio di algebra delle matrici:
Dimostrare nel caso generale che se due matrici A e B commutano, commutano anche: $ A^(-1) $ e $ B $
Sul libro dove è proposto l'esercizio trovo la seguente soluzione, che riporto e non riesco a capire:
a) l'ipotesi è AB=BA. Dimostriamo che $ A^(-1)*B = B*A^(-1) $
Infatti, moltiplicando ambo i membri di questa relazione a sinistra per A ed a destra per B, si ottiene:
$ A*(A^(-1)*B)*B=A*(B*A^(-1))*B -> (A*A^(-1))*B*B=(A*B)*A^(-1)*B $
Tenendo presente l'ipotesi AB=BA, si ha:
$ IB^(2)= (B*A)*A^(-1)*B=B*(A*A^(-1))*B -> B^2=B^2 $, che è una identità, quindi:
$A^(-1)*B = B*(A^(-1)) $, se A e B commutano, come si voleva dimostrare