Ciao - sto cercando di risolvere un problema la cui soluzione credo di aver formulato correttamente, ma la cui equazione non riesco a portare a termine: non capisco dove sta l'errore, se nello svolgimento oppure nella sua formulazione.
Vi vorrei sottoporre il mio svolgimento così - se volete - potreste dirmi dove si trova il mio errore. Grazie in anticipo.
Devo scrivere l'equazione che mi consente di trovare le tangenti comuni alle due circonferenze:
a) $x^2+y^2-4x-2y+4=0$
b) $x^2+y^2+4x+2y-4=0$
( il risultato è : ____ $ y=2$ ____ $ 4x-3y-10=0$_____ $3x+4y-5=0$ ____ $x=1$ )
trovo:
a) centro $ (2,1)$
raggio = 1
b) centro $(-2,-1)$
raggio = 3
a) distanza generica retta dal primo centro e di raggio 1 : $(|2m-1+k|/sqrt(m^2+1)) =1$
b) distanza generica retta dal sec.centro e di raggio 3 : $(|-2m+1+k|/sqrt(m^2+1)) =3$
metto in sistema le due equazioni per trovare m e k:
$ { ( (2m-1+k)^2=m^2+1 ),( (-2m+1+k)^2=9m^2+9 ):} $
$ { ( 4m^2-4m+4mk+1-2k+k^2-m^2-1=0 ),( (4m^2-4m-4mk+1+2k+k^2-9m^2-9=0 ):} $
sottraendo alla seconda riga , la prima, ottengo:
$ 8m^2+8mk-4k+8$ $ rArr $ ossia anche : $ 2m^2+2mk-k+2=0$
che mi conduce alla soluzione rispetto ad m :
$ m=(2k+-sqrt(4k^2+8k-16))/4$
$m=(k+-sqrt(k^2+2k-4))/2$
Ora dovrei sostituire m così ottenuto nella prima equazione e così trovare k:
$(2((k+-sqrt(k^2+2k-4))/2)-1+k)^2=(k+-sqrt(k^2+2k-4)/2)^2+1$
se per brevità, sostituisco la sigla Z al posto di quanto sta sotto segno di radice, dovrei ottenere:
$(2k+-Z-1)^2=((k+-Z)^2)/4+1$
$4k^2+-4kZ-4k+-2Z+(k^2+2k-4)+1=(k^2+-kZ+(k^2+2k-4))/4 +1$
Ora però ho timore a proseguire perché l'equazione mi appare molto complicata (avrò comunque a che fare con delle radici che credo di non essere in grado di gestire).
Vorrei sapere intanto se sono sulla strada giusta e se sì come dovrò gestire le radici? Se invece ho sbagliato, mi auguro mi vogliate dare suggerimenti. Grazie ancora e buona giornata.