equazione tangenti comuni a due circonferenze

Messaggioda rosa munda » 14/06/2017, 13:52

Ciao - sto cercando di risolvere un problema la cui soluzione credo di aver formulato correttamente, ma la cui equazione non riesco a portare a termine: non capisco dove sta l'errore, se nello svolgimento oppure nella sua formulazione.
Vi vorrei sottoporre il mio svolgimento così - se volete - potreste dirmi dove si trova il mio errore. Grazie in anticipo.

Devo scrivere l'equazione che mi consente di trovare le tangenti comuni alle due circonferenze:
a) $x^2+y^2-4x-2y+4=0$
b) $x^2+y^2+4x+2y-4=0$

( il risultato è : ____ $ y=2$ ____ $ 4x-3y-10=0$_____ $3x+4y-5=0$ ____ $x=1$ )
trovo:
a) centro $ (2,1)$
raggio = 1
b) centro $(-2,-1)$
raggio = 3

a) distanza generica retta dal primo centro e di raggio 1 : $(|2m-1+k|/sqrt(m^2+1)) =1$
b) distanza generica retta dal sec.centro e di raggio 3 : $(|-2m+1+k|/sqrt(m^2+1)) =3$

metto in sistema le due equazioni per trovare m e k:

$ { ( (2m-1+k)^2=m^2+1 ),( (-2m+1+k)^2=9m^2+9 ):} $

$ { ( 4m^2-4m+4mk+1-2k+k^2-m^2-1=0 ),( (4m^2-4m-4mk+1+2k+k^2-9m^2-9=0 ):} $

sottraendo alla seconda riga , la prima, ottengo:

$ 8m^2+8mk-4k+8$ $ rArr $ ossia anche : $ 2m^2+2mk-k+2=0$

che mi conduce alla soluzione rispetto ad m :

$ m=(2k+-sqrt(4k^2+8k-16))/4$

$m=(k+-sqrt(k^2+2k-4))/2$


Ora dovrei sostituire m così ottenuto nella prima equazione e così trovare k:

$(2((k+-sqrt(k^2+2k-4))/2)-1+k)^2=(k+-sqrt(k^2+2k-4)/2)^2+1$

se per brevità, sostituisco la sigla Z al posto di quanto sta sotto segno di radice, dovrei ottenere:

$(2k+-Z-1)^2=((k+-Z)^2)/4+1$

$4k^2+-4kZ-4k+-2Z+(k^2+2k-4)+1=(k^2+-kZ+(k^2+2k-4))/4 +1$

Ora però ho timore a proseguire perché l'equazione mi appare molto complicata (avrò comunque a che fare con delle radici che credo di non essere in grado di gestire).
Vorrei sapere intanto se sono sulla strada giusta e se sì come dovrò gestire le radici? Se invece ho sbagliato, mi auguro mi vogliate dare suggerimenti. Grazie ancora e buona giornata.
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Re: equazione tangenti comuni a due circonferenze

Messaggioda mgrau » 14/06/2017, 22:54

Prova questo metodo.
Riferiamoci alla figura
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Tu conosci i due centri $O$ e $O'$ e i due raggi $r1$ e $r2$. Supponi di conoscere una tangente, che tocca in $T$ e $T'$
Se tracci il segmento che unisce $O$ e $O'$, i raggi $OT$ e $O'T'$ e la tangente, si formano due triangoli rettangoli $OPT$ e $O'PT'$, che sono simili.
Le coordinate di P sono facili da trovare, tenendo conto che $OP : O'P = OT:O'T' = r1:r2$
A questo punto, si tratta di trovare la tangente ad una (qualsiasi) delle circonferenze passante per P (e sarà tangente anche all'altra), che è un problema facile: ne troverai due.
P.S. E' vero che per le altre due il metodo non si applica. Bisognerà pensarci un altro po', magari modificare qualcosa. E comunque, nel tuo caso, le altre due si trovano a occhio.
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Re: equazione tangenti comuni a due circonferenze

Messaggioda mgrau » 14/06/2017, 23:05

Sì ecco, era facile.
Data questa figura, noto i centri e i raggi, si tratta di trovare P

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Ci sono ancora due triangoli rettangoli simili, $OTP$ e $O'T'P$ di nuovo si tratta di trovare le coordinate di P e poi come sopra.
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Re: equazione tangenti comuni a due circonferenze

Messaggioda rosa munda » 16/06/2017, 08:18

gentile mgrau, ti ringrazio per questo suggerimento - ora me lo studio con calma e provo ad applicarlo -
Tuttavia, vorrei tornare alla metodologia che ho impostato perché è quella che mi suggerisce il mio libro di testo il quale ci consiglia quanto segue "perché la retta Y=mx sia tangente ad ambedue le circonferenze, bisogna che la sua distanza dal centro della prima circonferenza sia equale al raggio della circonf stessa; e analoga condizione deve essere verificata per la seconda. Si deve poi vedere se esistono tantgenti comuni di equazione x=k."
Chiedo scusa per questa "testardaggine", ma non vorrei precludermi delle strade alternative che potrebbero essere utili in seguito.
Grazie ancora e spero possiate darmi ulteriori suggerimenti. Buona giornata e buon week end.
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Re: equazione tangenti comuni a due circonferenze

Messaggioda @melia » 16/06/2017, 15:11

Hai ragione, il procedimento che hai postato è corretto, il problema sono i calcoli. Con questo caldo farai fatica a trovare qualcuno disposto ad arrivare fondo.
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Re: equazione tangenti comuni a due circonferenze

Messaggioda rosa munda » 17/06/2017, 08:08

Pur di conoscere la soluzione sono disposta ad attendere l'arrivo dell'inverno. Grazie almeno di avermi detto che sono sulla buona strada. Però è un mistero che ci facciano affrontare dei calcoli cosi astri. Buona giornata.
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Re: equazione tangenti comuni a due circonferenze

Messaggioda sandroroma » 17/06/2017, 16:15

I calcoli si semplificano parecchio se come equazione si prende quella che si ottiene eliminando la radice:
$\abs(-2m+1+k)=3|2m-1+k|$
In tal modo il sistema risolvente diventa:
\begin{cases}(2m-1+k)^2=1+m^2\\
|-2m+1+k|=3|2m-1+k|\\
\end{cases}
Oppure:
\begin{cases}(2m-1+k)^2=1+m^2\\
(-2m+1+k)= \mp 3(2m-1+k)\\
\end{cases}
Separando i due segni si hanno i due sistemi seguenti:
(A)
\begin{cases}(2m-1+k)^2=1+m^2\\
(-2m+1+k)= + 3(2m-1+k)\\
\end{cases}

(B)
\begin{cases}(2m-1+k)^2=1+m^2\\
(-2m+1+k)= - 3(2m-1+k)\\
\end{cases}
Il sistema (A) restituisce la soluzione $m=0,k=2$ che sostituita nella retta generica $y=mx+k$ dà la retta $y=2$
e la soluzione $m=4/3,k=-10/3$ che dà la retta $y=4/3x-10/3$
Il sistema (B) restituisce la soluzione $m=-3/4,k=5/4$ che porta alla retta $y=-3/4x+5/4$
e la soluzione $m=+oo$
Quest'ultima soluzione ci dice che la tangente relativa è parallela all'asse y ed ha quindi equazione $x=k$
Imponendo che x=k sia tangente ad entrambe le circonferenze date, si ottiene come comune risultato
$ k=1$ e dunque la relativa tangente ha equazione $x=1$
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Re: equazione tangenti comuni a due circonferenze

Messaggioda rosa munda » 18/06/2017, 08:04

Grazie grazie grazie - ora sono sul cellulare e non vedo bene il testo delle formule - appena sono in grado rivedo sul PC ma credo di aver capito la strategia - per ora ancora grazie- lo sapevo che la strada c'era! Buona giornata.
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Re: equazione tangenti comuni a due circonferenze

Messaggioda teorema55 » 18/06/2017, 08:29

Beh......questa è la strada buona se ti viene imposto di applicare la geometria analitica, ma se ti è consentito qualsiasi procedimento direi che la soluzione di mgrau è molto più semplice ed...............elegante.

:D
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Re: equazione tangenti comuni a due circonferenze

Messaggioda rosa munda » 18/06/2017, 08:44

Sono d'accordo -issimo - però mi piace conoscere ogni risvolto possibile per potermi districare meglio (magari potrebbe essermi utile in altri problemi che portano a equazioni simili). Un sincero saluto e augurio di buona domenica a tutti voi.
rosa munda
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