Definizione in termini informali di limite matematico

[Irene Ambrosanio]

Ciao, studiando i limiti matematici, più in particolar i limiti di una funzione, ho trovato diverse definizioni..per lo più in termini rigorosamente matematici. La maggior parte spiega il limite come un operazione finalizzata allo studio dell'andamento di una funzione intorno ad un punto ecc ecc ecc..
Adesso vorrei capirlo ""concretamente"" dato che trovo difficile comprendere il limite pensando sia un operazione che mi dia un risultato che a sua volta possa spiegarmi l'andamento di una funzione. In termini "terra terra" cortesemente qualcuno che mi spieghi a cosa serva e soprattutto perchè si chiami limite. Grazie in anticipo

[axpgn]

I miei due centesimi ...

$lim_(n->infty) sum_(1)^n 1/2^n$

Non è una funzione ma una successione però va bene lo stesso ...

Abbiamo a che fare con una somma di termini sempre positivi quindi verrebbe naturale pensare che aggiungendo addendi la somma aumenti senza avere nessun "limite" ... ed invece no, questa somma un "limite" ce l'ha ed è $1$ ovvero per quanto grande sia $n$ (numero naturale) la somma non supererà mai quel "limite" anzi neanche lo raggiungerà, però mi posso avvicinare quanto voglio (oserei dire "senza limite" ) a quel numero, talmente vicino da poter confondere, in pratica, la somma con il "limite".

Ecco un esempio di "a cosa servono i limiti", ad avere informazioni su situazioni "particolari" che non posso avere con i "normali" procedimenti (a capire se una funzione è limitata oppure no, quale comportamento ha in un certo punto, ecc.)

Cordialmente, Alex

[Irene Ambrosanio]

ma per conoscere il comportamento in un certo punto non basterebbe eseguire una semplice valutazione in quel certo punto della funzione?
I limiti di una successione sembrano molto più chiari e definiti dei limiti delle funzioni, sembra abbiano uno scopo mirato e deciso..quello che non comprendo è sostanzialmente nella definizione (trovata su internet) secondo cui un limite della funzione servirebbe a calcolare il VALORE a cui tendono i VALORI della funzione man mano che le ascisse si avvicinino a Xo..
non capisco di quali valori parli quando poi per andarlo a risolvere io eseguo una valutazione in quel punto della funzione, cioè andrei a sostituire il valore di Xo nella x del mio limite. Mi sembra di non star andando a studiare i VALORI ma un VALORE..come questo può determinarmi l'andamento ?

[axpgn]

ma per conoscere il comportamento in un certo punto non basterebbe eseguire una semplice valutazione in quel certo punto della funzione?

E se in quel punto la funzione non è definita? Certo, potresti accontentarti e piantarla lì, non c'è risposta e non c'è neanche usando i limiti (nel senso che non essendo definita in tal punto non puoi dire quanto vale "esattamente" in quel punto) però se io riuscissi a sapere come si "comporta" la funzione nelle "vicinanze" di quel punto (e per "vicinanze" intendo "vicino quanto voglio" senza nessuna limitazione), beh questo sarebbe una gran cosa perché "di fatto" riuscirei a "calcolare" il valore della funzione proprio lì dove non potrei ... e dove, parlando formalmente, comunque non posso: infatti il limite NON è il valore che assume la funzione in quel punto ma un valore "associato" a quella funzione in quel punto, se così si può dire ...

Tieni conto poi del fatto che come molti altri concetti in ambito matematico, pur essendo "nato" per scopi più o meno "pratici" è diventato un punto fondamentale in ambito matematico ...

IMHO ...

Cordialmente, Alex

[Irene Ambrosanio]

valore "associato" a quella funzione in quel punto..che cosa intendi? è questo che mi blocca!...è vuoto più assoluto il concetto di questo argomento per me
Come un valore restituito può definirci il comportamento di una funzione, quando poi questo potrebbe anche non appartenere ad essa ?!

[axpgn]

Premesso che stiamo sempre parlando informalmente (altrimenti dovrei rimandarti alle miriadi di definizioni che trovi in rete, le quali spiegano meglio di me e che sicuramente già conosci) ... "associato" significa proprio quello: una funzione in un punto del suo dominio assume un valore ma può ANCHE avere un valore LIMITE (ho scritto "anche" perché non è detto che il limite esista sempre in tutti i punti oltre al fatto che il limite può esistere "anche" per punti non nel dominio).
Non devi limitarti a pensare una funzione come una "semplice" espressione matematica ma ad un concetto un po' più ampio (per esempio possiamo "associare" ad una funzione un "grafico" il quale però NON è la funzione ma un insieme di punti del piano).

Come un valore restituito può definirci il comportamento di una funzione, quando poi questo potrebbe anche non appartenere ad essa ?!

Pensa per esempio alla funzione $f(x)=sin(x)/x$ e al suo limite in $x=0$: $lim_(x->0) sin(x)/x=1$
Nel punto zero questa funzione non è definita, ma non solo, sia la funzione a numeratore che quella a denominatore si annullano in quel punto eppure si può dimostrare che quel limite vale $1$ ovvero, in termini grossolani, che "avvicinandosi a zero" quella funzione assumerà valori sempre più prossimi a $1$ (e questo non è molto intuibile a priori)

È solo un esempio (semplice) di come il concetto di limite può essere utile ...

Cordialmente, Alex

[Irene Ambrosanio]

Grazie mille, gentilissimo