Perchè la derivata seconda calcolata in un p. di flesso è 0?

[liquidlurker]

Cioè voglio dire, perchè non è cosi' scontato che la derivata seconda calcolata in un punto di flesso è zero.
Certo è una condizione necessaria ma non sufficiente.
Ma ragionandoci un po' qualsiasi derivata seconda calcolata in un qualsiasi punto è zero.

es: poniamo per esempio il caso f(x)=x^3 -x.
Questa funzione presenta in x=0 un punto di flesso. quindi per definizione f''(-1)=0 (Dove -1 rappresenta la pendenza della
retta tangente della funzione nel punto x=0 )

Nella mia testa questo discorso fila liscio....purtroppo.
Purtroppo perchè ragionando un po' mi è uscito fuori che qualsiasi derivata seconda calcolata in un punto qualsiasi è
uguale a zero.

infatti se il limite del rapporto incrementale (sempre calcolato in un punto noto della funzione) è uguale al coefficiente
angolare della retta tangente a quel punto allora derivando una seconda volta (cioè facendo il limite del rapporto
incrementale di m, che adesso è una costante) ottengo sempre zero.

Sento che qualquadra non cosa. Forse devo calcolare la derivata seconda (della funzione) nel punto e non fare il limite del
rapporto incrementale della derivata prima calcolata nel punto.

Aiutooooo , voglio capire perchè, perchè è tutto un disastro quando studio matematica

[otta96]

Se provi a calcolare la derivata seconda di $e^x$ in un punto a tua scelta cosa ottieni?

[liquidlurker]

allora, derivare significa fare il limite del rapporto incrementale giusto? se so il punto in cui voglio calcolare la tangente della funzione allora il risultato è la pendenza della retta tangente (che in pratica sarebbe la derivata prima calcolata in un punto e che quindi è una costante). Ora, se facciamo la derivata della derivata (cioè la derivata seconda) calcolata in un punto ottengo sempre zero.
quindi ad esempio scelgo un punto di e^x, facciamo (0,1). quindi calcolo la tangente per quel punto e ottengo che m (o f'(x_0)) è uguale a 1. derivando nuovamente m (cioè 1) ottengo zero.
Questo è in pratica il ragionamento che faccio. So che la derivata prima di e^x è uguale a e^x e che dunque la derivata seconda di e^x è uguale a e^x ma io so calcolando la derivata in un punto.

[liquidlurker]

grafcamente: https://www.geogebra.org/o/YJRrMHJ2

[@melia]

Calcolare la derivata seconda in un punto NON significa fare la derivata del valore assunto dalla derivata prima in quel punto. Per calcolare la derivata seconda di $f(x)$ in un punto devi prima calcolare la derivata seconda e poi andare a vedere che valore assume in quel punto.
Ad esempio sia $f(x)= x^4-2x^2+7x$ e il punto sia $P(1,6)$, la derivata prima $f'(x)=4x^3-4x+7$, mentre $f'(1)=7$, per calcolare $f''(1)$ devi prima calcolare $f''(x) = 12x^2-4$ e poi vedere quanto vale in $1$, $f''(1)=12-4=8$

[@melia]

Il link che hai postato non porta da nessuna parte.

[liquidlurker]

Strano che non porti da nessuna parte. Comunque mi è più chiaro...l'avevo intuito anche prima, ma non ero sicuro al 100%. Studierò adesso cosa significhi da un un punto di vista geometrico ciò che mi hai suggerito. Grazie mille

[@melia]

Strano che non porti da nessuna parte.

Mi porta ad una pagina di GeoGebra con la scritta "impossibile aprire il file"

[teorema55]

Anche a me è impossibile aprire il file, forse l'hai salvato come "privato".

Comunque è molto chiaro ed interessante il discorso di @melia. Calcolando la derivata del valore di una funzione in un suo punto, una costante, otterresti sempre 0. Ma bisogna prima calcolare la derivata (che è anch'essa una funzione), poi sostituire il valore dell'ascissa del punto nella funzione derivata.

In soldoni, data la primitiva

$f(x)$

la sua derivata prima

$f'(x)$

in un punto corrisponde al coefficiente angolare della retta tangente $f(x)$ in quel punto. Se

$f'(x)>0$

la $f(x)$ in quel punto è crescente, e viceversa. Se

$f'(x)=0$

la primaria in quel punto non cresce né decresce, condizione necessaria ma non sufficiente perché quel punto sia un massimo od un minimo (relativi). Per saperlo devi calcolare

$f''(x)$

Se è

$f''(x)>0$

significa che la concavità della primaria in quel punto è rivolta verso l'alto, ergo hai un punto di minimo. Allo stesso modo

$f''(x)<0$

individua un punto di massimo. Nel caso

$f''(x)=0$

puoi avere un punto di flesso, dove cambia la concavità della primaria................

[liquidlurker]

Hai ragione l' avevo messo privato per sbaglio. Adesso il link dovrebbe andare.
Comunque si, adesso mi è più chiaro