Studio di funzione logaritmica.

[SirDanielFortesque]

Salve,
Un esercizio prevede lo studio della funzione:
$ f(x)=(ln(x^2-1))/(x^2-4) $
trascurando la derivata seconda.

Calcolando la derivata prima ottengo:
$ f'(x)=2x*((x^2-4-(x^2-1)*ln(x^2-1))/((x^2-1)*(x^2-4))) $
Come posso studiarne il segno, sempre che sia necessario per lo studio della funzione ad oggetto?

[mgrau]

La C.E. è $x^2 - 1 > 0 => x >1$ V $ x < -1$ e $x ne +-2$
La funzione è pari, così pensiamo solo a $x > 0$
La funzione (il numeratore) si azzera per $x^2-1 = 1 => x = +- sqrt2$
Per $x-> 1+$ il numeratore tende a $-infty$ ma il denominatore è negativo per cui la funzione tende a $+infty$
Per $x -> 2$ si ha un asintoto verticale: negativo per $x -> 2-$, positivo per $x->2+$
Per $x > 2$ la funzione è positiva, per $x -> +infty$ la funzione si comporta come $(2 ln x)/x^2$ e tende a zero
Dalla derivata prima che hai calcolato vedi che per $x > 2$ è sempre negativa, quindi la funzione è decrescente e non ci sono massimi o minimi locali in $2 < x < + infty$

[SirDanielFortesque]

Come vedo che la derivata è sempre negativa per x>2?
Come posso ragionare?

[mgrau]

In effetti avevo letto male, e mi pareva banale, invece ...
Comunque, vogliamo vedere che $A = x^2-4-(x^2-1)*ln(x^2-1) < 0$ se $x > 2$, tutto il resto è positivo
Maggioriamo il primo membro, scrivendo $A' = x^2-4-(x^2-4)*ln(x^2-1) = (x^2 - 4)(1 - ln(x^2-1))$
$x^2 - 4 > 0$ per $x > 2$.
$ln(x^2-1) > ln(3)$ per $x > 2 => 1 - ln(x^2-1) < 1 - ln(3) < 0$
Allora $A' < 0$ e $A < A' < 0$

Se non ho sbagliato qualcosa....

[SirDanielFortesque]

Mi potrebbe spiegare meglio il primo passaggio? In che senso "Maggioriamo il primo membro, scrivendo $ A'=x^2 −4−(x^2 −4)⋅ln(x^2 −1)=(x^2 −4)(1−ln(x^2 −1)) $
Il primo membro a me risulta essere:
$ x^2-4-(x^2-1)*ln(x^2-1) < 0 $
Il fatto è che poi non so proprio come proseguire...
Inizio a pensare che la derivata prima vada trascurata, anche se il libro indica di trascurare solo la derivata seconda... ma allora come faccio a fare uno studio di funzione efficace?

[axpgn]

Come già detto la funzione è pari quindi la studiamo da un lato solo.
Il dominio è $x>1$ con l'esclusione di $x=2$
Studiamo il segno di numeratore e denominatore: il primo è negativo per $x<sqrt(2)$ e positivo viceversa (e nullo nel punto); il secondo è negativo per $x<2$ e positivo viceversa (e nullo nel punto).
Facendo il solito "grafichino" dei segni risulta che la funzione è positiva tra $1$ e $sqrt(2)$, negativa tra $sqrt(2)$ e $2$ e positiva nel resto del dominio (e nulla solo in $sqrt(2)$).

[mgrau]

Se in $ x^2 −4−(x^2 −1)⋅ln(x^2 −1) $ al posto di 1 in $x^2 - 1$ mettiamo 4, otteniamo una espressione maggiore della precedente, e se possiamo mostrare che questa è negativa, anche l'originale lo sarà

[SirDanielFortesque]

Ora mi è chiaro. Grazie delle risposte.