Come faccio a risolvere un limite con f(x) di secondo grado?

[hellix08]

Come faccio a risolvere \(\displaystyle \lim_{x \to 2} x^2 = 4 \) utilizzando la definizione cioè risolvendo \(\displaystyle |f(x)-l|<\epsilon \)? Io ho provato a risolvere \(\displaystyle |x^2-4|<\epsilon \) ma quando arrivo a \(\displaystyle 4-\epsilon<x^2<4+\epsilon \) non sò più come andare avanti. Se provo a risolvere questa doppia disequazione come sistema di disequazioni mi vengono due intervalli che sono sbagliati.
Il libro mostra \(\displaystyle \sqrt{4-\epsilon}<x<\sqrt{4+\epsilon} \) come soluzione ma io non capisco come ci siano arrivati, non è sbagliato estrarre la radice di indice pari nelle disequazioni?

[anonymous_0b37e9]

Poiché è sufficiente considerare $[\epsilon lt 4]$:

$\{(x^2 gt 4-\epsilon),(x^2 lt 4+\epsilon):} rarr \{(x lt -sqrt(4-\epsilon) vv x gt sqrt(4-\epsilon)),(-sqrt(4+\epsilon) lt x lt sqrt(4+\epsilon)):}$

Del resto, un intorno di $x_0$ valido per $[\epsilon lt 4]$ è valido anche per $[\epsilon gt= 4]$. Per quanto riguarda le due disequazioni di 2° grado, valori esterni nella prima e valori interni nella seconda. Risolvendo il sistema mediante un grafico vero/falso, dopo aver osservato che l'ordine dei quattro valori non dipende da $\epsilon$:

$[-sqrt(4+\epsilon) lt x lt -sqrt(4-\epsilon)] vv [sqrt(4-\epsilon) lt x lt sqrt(4+\epsilon)]$

si ottengono un intorno di $[x_0=-2]$ e un intorno di $[x_0=2]$. Infatti:

$[lim_(x->-2)x^2=4] ^^ [lim_(x->2)x^2=4]$

In definitiva, due verifiche in un colpo solo.