Disequazione irrazionale, fratta con valore assoluto?

[Cristinajc]

Ciao a tutti, mi potreste spiegare questo esercizio?

[(Radice quadrata x^2-1) -x-2 ] / |x-1| < 0

Ho provato a risolverlo ponendo numeratore maggiore di 0, e mi viene X< -5/4; poi ho posto il denominatore maggiore di 0 ma non riesco più andare avanti. Ho un dubbio: il valore assoluto non è un numero sempre nullo o positivo? (Seguendo questo ragionamento ho posto il denominatore maggiore di zero e il risultato sarebbe per ogni x diverso da -1, ma evidentemente è sbagliato). Per favore aiutatemi non riesco proprio a capirlo anche se mi sono impegnata per risolverlo.

[axpgn]

È questa $(sqrt(x^2-1)-x-2)/|x-2|<0$ ?

Il C.E. è $x<= -1 vv x>= 1 ^^ x!=2$, il denominatore è sempre positivo quindi il segno dell'espressione dipende solo dal numeratore; perciò devi risolvere questa disequazione irrazionale $sqrt(x^2-1)>x+2$

[Ragazzo123]

ciao axpgn, ho una domanda da fare su questa disequazione...

$(sqrt(x^2-1)-x-2)/|x-2|<0$

non dovrei dividerla in due casi?

nel senso... il primo caso in cui il denominatore $>0$ e il secondo cosa $<0$

se faccio come hai detto tu viene così:

$sqrt(x^2-1)>x+2$

$\{(x+2<0),(x^2-1>0):}$ $vv$ $\{(x+2>0),(x^2-1>(x+2)^2):}$

risolvendo e unendo i due sistemi viene $S:(AAx inRR|-2<x<-(5)/2)$

non mi sembra tanto giusto... magari sono io che ho capito male.

[axpgn]

Come al solito si studiano i segni di numeratore e denominatore; quest'ultimo è sempre positivo dato che è un valore assoluto ed abbiamo escluso col C.E. i valori che lo annullano, ok?
Studio la positività del numeratore e formo i due sistemi che hai scritto: il primo ha come soluzione $x< -2$ ed il secondo $-2<=x< -5/4$ ed unendoli $x<-5/4$; quindi il numeratore è positivo in quell'intervallo e ricordandoci che il denominatore è sempre positivo anche la fratta sarà positiva in quell'intervallo; ma quello che ci viene chiesto dall'esercizio è la negatività quindi la soluzione della disequazione è $-5/4<x<= -1 vv 1<=x<2 vv 2<x$

[Ragazzo123]

scusa, ma non mi è ben chiara l'ultima parte in cui ricavi la soluzione della disequazione, come ci sei arrivato esattamente?
me la potresti spiegare più dettagliatamente?

[axpgn]

Disequazione: $(sqrt(x^2-1)-x-2)/|x-2|<0$

C.E.: $(-infty, -1] vv [1, 2) vv (2,+infty)$

Studio segno numeratore e denominatore:

$\text(NUM)>0\ ->\ sqrt(x^2-1)-x-2>0$

$\text(DEN)>0\ ->\ |x-2|>0$

Numeratore:

$\text(NUM)>0\ ->\ sqrt(x^2-1)-x-2>0\ ->\ sqrt(x^2-1)>x+2$ che diventa l'unione di due sistemi

${(x+2<0),(x^2-1>=0):} vv {(x+2>=0),(x^2-1>(x+2)^2):}$

La soluzione del primo è $x< -2$ mentre quella del secondo è $-2<=x<-5/4$ ; unendole e tenendo conto del C.E. si conclude che il numeratore è positivo nell'intervallo $(-infty, -5/4)$ e di conseguenza è negativo nell'intervallo $(-5/4, -1] vv [1, 2) vv (2,+infty)$ (e nullo solo in $x=-5/4$)

Denominatore:

È sempre positivo (tenendo conto anche del C.E.)

Soluzione della disequazione:

Ci viene chiesto in quali intervalli l'espressione fratta è negativa, in pratica dove numeratore e denominatore sono di segno discorde; ora, dato che il denominatore è sempre positivo, gli intervalli che ci interessano sono quelli dove il numeratore è negativo ovvero $(-5/4, -1] vv [1, 2) vv (2,+infty)$

Cordialmente, Alex

[Ragazzo123]

AHHH ora ho capito! grazie mille Alex, sempre disponibile