Equazione trigonometrica

[simki]

Come si risolve la seguente equazione trigonomentrica?
$ 4x + \pisenx = 4\pi$

[simki]

So che si può risolvere anche ad occhio, ma vorrei sapere se qualcuno riesce a mostrarmi dei passaggi per arrivare alla soluzione

[caffeinaplus]

Ciao, credo che l'unico metodo per risolvere questa equazione è usare il metodo grafico.Ti consiglierei di tracciare il grafico di $sinx$ e di $(4\pi -x)/(\pi)$ e cercare la loro intersezione.Se fai tutto bene il risultato dovrebbe essere $\pi$.

Provaci anche se non hai fatto gli studi di funzione, basta conoscere il grafico del seno e della retta

[simki]

Ci proverò, grazie

[teorema55]

Al dà del fatto che la soluzione del sistema proposto non è $pi$ ma $4pi$, non mi è chiaro come individui il sistema risolutivo...................forse è meglio

$sinx$
e
$(4(pi-x))/x$

Concordo invece che la soluzione più opportuna sia quella grafica.

Ciao

[caffeinaplus]

$4pi +pisin(pi) = 4pi$

Mi pare vero che $pi$ sia soluzione

[feddy]

Nel caso non si vedesse a occhio la soluzione (cosa che nella realtà è più unica che rara) , si può usare, se possibile, il buon metodo di bisezione

Se guardiamo la $f(x)=4x + pi sin(x) - 4pi$, allora se $bar(x)$ è un suo zero, questo è proprio la soluzione dell'equazione di partenza perché avremmo $f(bar(x))=4bar(x) + pi sin(bar(x)) - 4pi =0$, da cui $4bar(x) + pi sin(bar(x)) = 4pi$
Appurato ciò, è sufficiente vedere che questa funzione è continua, la sua derivata è $f'(x)=4 + pi cos(x)$, e visto che $|cos(x)|<1$ sempre, segue che $f'(x)>0, \forall x in RR$. Perciò la funzione è (strettamente) crescente, e si vede che nell'aperto $(2,4)$ assume valori di segno discorde. Pertanto esiste, ed è unico (via thm. degli zeri), lo zero della funzione, che determiniamo numericamente con il metodo di bisezione.

Lo schema è citato nel link. Applicandolo a un qualunque software, con la seguente porzioncina di codice, si ha:

Codice:


f=@(x) 4*x + sin(x)*pi -4*pi;

a=2; %estremo a
b=4; %estremo a
tol=1e-6; %tolleranza
iter=0; %contatore iterazioni
maxit=150; %numero massimo di iterazioni
fa=feval(f,a); %Valutazione funzione agli estremi
fb=feval(f,b);

while (abs(a-b)>tol) && (iter<=maxit)
    iter=iter+1
   
    xm=(a+b)/2; %calcolo punto medio
    fm=feval(f,xm);
   
    if sign(fa)*sign(fm)<=0
        b=xm;
        fb=fm;
    else
        a=xm;
        fa=fm;
    end
    xhist(iter)=xm;
end
disp(xm) %xm è lo zero della funzione

Il risultato numerico ottenuto è $bar(x)= 3.141592979431152$, che come vedi è un'approssimazione corretta di $pi$ solo per le prime sei cifre decimali, come abbiamo richiesto