"Portare dentro" al seno

[LoreT314]

Ok so che la mia domanda è stupida, ma voglio esserne sicuro
Dato $asinx$ e possibile con qualche astruso passaggio trasformarlo in $sin(bx)$? Sui reali direi assolutamente no, ma magari mettendo b nei complessi si può fare? Non credo proprio ma voi che dite?

[kobeilprofeta]

No. Unica cosa credo che puoi approssimare quando x è molto piccolo.

[vict85]

Dipende cosa intendi. Per \(a\) e \(x\) fissati puoi in alcuni casi trovare un \(b\) che soddisfa la richiesta. Ma l'uguaglianza non è di funzioni in alcun modo.

[LoreT314]

Dipende cosa intendi. Per \(a\) e \(x\) fissati puoi in alcuni casi trovare un \(b\) che soddisfa la richiesta. Ma l'uguaglianza non è di funzioni in alcun modo.

Si tipo con $a=0,b=0$ è verificata però in generale no. Grazie a tutti

[vict85]

Un piccolo approfondimento:

Supponi di avere \(\displaystyle f(ax) = g(a)f(x) \) per ogni \(\displaystyle a,x\in \mathbb{R} \).

1. Siccome, per ogni \(\displaystyle a\in \mathbb{R} \), \(\displaystyle f(0) = f(a0) = g(a)f(0) \), si deve avere \(\displaystyle g(a) = 1 \) oppure \(\displaystyle f(0) = 0 \).
2. Siccome, per ogni \(\displaystyle x\in \mathbb{R} \), \(\displaystyle f(x) = g(x)f(1) \), si deve avere \(\displaystyle f(x) = cg(x) \) per qualche \(\displaystyle c\in \mathbb{R} \).
3. Dalle considerazioni precedenti \(\displaystyle cg(xy) = f(xy) = g(x)f(y) =cg(x)g(y) \), ovvero \(\displaystyle g(xy) = g(x)g(y)\).
4. Siccome \(\displaystyle g(1) = g(1)g(1) \), allora \(\displaystyle g(1) = 0 \) oppure \(\displaystyle g(1)=1 \).

[LoreT314]

[*] Siccome, per ogni \(\displaystyle x\in \mathbb{R} \), \(\displaystyle f(x) = g(x)f(1) \)

Non ho capito questo passaggio

[vict85]

Se scrivo \(f(a)=f(a\times 1)=g(a)f(1)\) ti è più chiaro?

[vict85]

Ho notato che nel caso \(f(x)=0\), insomma nel caso \(f\) sia la funzione costante \(0\), allora le considerazioni su \(g\) non valgono. In quel caso, la relazione è vera per qualsiasi \(g\).