da francicko » 09/12/2017, 12:07
Il limite che hai trovato è corretto, come lo è il suo svolgimento, però essendo una forma indeterminata $infty-infty$, almeno sotto questa forma Hopital non è applicabile.
Esiste un metodo più immediato per arrivare al risultato partendo dalla conoscenza della seguente uguaglianza asintotica valevole per $t->0$ :
$(1+t)^(alpha)~~1+alphat $
La giustificazione dell'identità asintotica risiede nel fatto che l'equazione della retta tangente nel punto $t=0$ di $root (alpha)(1+t)=(1+t)^(alpha) $ è appunto $1+alphat $, ed nell'immediato intorno del punto $t=0$, il valore della retta tangente tende a coincidere con il valore della funzione $root (alpha)(1+t) $, pertanto sempre nell'immediato intorno è plausibile sostituire l'equazione della retta tangente all'equazione della funzione.
Nel tuo caso $alpha=1/3$ ed $t=-1/x $ pertanto avrai:
$root(3) (1-1/x)=(1-1/x)^(1/3)~~(1-1/(3x)) $
Sostituendo questa identità asintotica nel limite iniziale avrai:
$lim_(x->infty)[root (1/3)(x^3-x^2)-x] $ $=lim_(x->infty)root(3)(x^3 (1-x^2/x^3)) -x$ $=lim_(x->infty)xroot (3)(1-1/x)-x $ $=lim_(x->infty)x (root (3)(1-1/x)-1)$ $=lim_(x->infty)x (1-1/(3x)-1) $ $=lim_(x->infty)x (-1/(3x))=-1/3$
Ultima modifica di
francicko il 11/12/2017, 10:41, modificato 4 volte in totale.
"Anche una sola ingiustizia minaccia la giustizia di tutti."
"Martin Luther King"