Derivata seconda - studio di funzione

Messaggioda elytu98 » 11/12/2017, 17:52

Buondì! :-D
Ho un dubbio atroce su di un calcolo che dovrebbe essere banale.
Calcolando la derivata seconda nello studio di una funzione, ottengo la seguente stringa:

$ =(-9(3x-2)-[3-18ln(3x-2)(3x-2)])/(3x-2)^4 $

Se io volessi raccogliere $(3x-2)$ per semplificare un pò il denominatore, dovrei raccogliere anche il $3x-2$ del logaritmo naturale?
Se così fosse allora $ln(1)=0$..

Inoltre questa risulta essere la derivata seconda della funzione: $f(x)=(ln(3x-2))/(3x-2)$
Il punto è che studiando questa funzione mi viene che la concavità cambia prima del punto di massimo, cosa che mi sembra un pò impossibile :| Questo ovviamente succede perchè nella derivata seconda ho raccolto il $(3x-2)$ senza raccoglierlo anche dal logaritmo naturale.

Qualcuno sarebbe così gentile da aiutarmi? :cry:
elytu98
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Re: Derivata seconda - studio di funzione

Messaggioda caffeinaplus » 11/12/2017, 20:50

$f(x) =(ln(3x-2))/(3x-2)$
$f'(x) = (3(1-ln(3x-2)))/(3x-2)^2 $
$f''(x) = -9*((3x-2)(1-2[1-ln(3x-2)]))/(3x-2)^4$

E a questo punto non ti resta che semplificare :-D

Edit: inoltre se non ho preso sviste varie è concava $AA x \in (2/3;1]$ e convessa nel rimanente

Edit dell'edit :-D : in verità ci sarebbe da vedere anche quello che accade per $x->2/3$
caffeinaplus
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Re: Derivata seconda - studio di funzione

Messaggioda seb » 14/12/2017, 17:25

elytu98 ha scritto:Se io volessi raccogliere $(3x-2)$ per semplificare un pò il denominatore, dovrei raccogliere anche il $3x-2$ del logaritmo naturale?
Se così fosse allora $ln(1)=0$
Assolutamente no. "Se così fosse allora \(\ln{1}=0\)" e con la tua premessa si avrebbe \(\ln{x}=x\cdot\ln{1}=x\cdot0=0,\>\forall x\).
In ogni caso, per semplificarsi un pochetto i conti potresti imporre \(y=3x-2\) ottenendo \(f(y)=\frac{\ln{y}}{y}\) le cui derivate prima e seconda sono:\[\begin{equation*}f'(y)=3\frac{1-\ln{y}}{y^2}\\f''(y)=9\frac{2\ln{y}-3}{y^3}\end{equation*}\]
Horas non numero nisi serenas
seb
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