trovare dei k per delle x capricciose

Messaggioda william housebutters » 14/02/2018, 14:59

ciao a tutti ragazzi

Ho un problema che mi sta tirando matto :? , nel senso che penso di aver svolto correttamente ogni passaggio, forse ne ho fatti anche troppi di passaggi :roll: ... fatto sta che non trovo gli errori, ringrazio anticipatamente chiunque voglia aiutarmi.

Ordunque, tutto parte da questa equazioncina qui
: $ 2x^2-4x+k-3=0 $

ci si chiede di trovare i valori di K affinche' siano soddisfatte le seguenti condizioni:

$ A): x_1=x_2 $

$ B): x_1=0 ^^ x_2!= 0vv x_1!= 0^^ x_2=0 $

$ C): x_1!= x_2 $

$ D): x_1<0^^ x_2<0 $

$ E): 1/x_1+1/x_2=4/3 $

$ F): x_1^3+x_2^3=11 $

$ G): x_1/x_2=3 $

dunque, anzitutto ho trovato le due x con i ''k dentro'':

$ x_1=1+sqrt(2(5-k)) /2 $

$ x_2=1-sqrt(2(5-k)) /2 $

e da queste ho risolto senza problemi il punto A (k=5), il punto B (k=3), il punto C (k<5) e il punto D (non e' possibile).

I probelmi vengono ai punti E, F, G, me ne fosse venuto uno! :(

vi invio i passaggi che ho fatto per arrivare alla conclusione del punto E; abbiate pazienza, mi sto ancora impratichendo a inserire le formule col formulario del forum :oops: , e l'editor che ho utilizzato per scrivere le formule mi permette di esportare solo file grafici. Quindi aggiungo qui le immagini, non me ne vogliate... :|

Immagine


Immagine

vedete perche' impazzisco? :x ho trovato i due valori di K che si possono sostituire alla equazione finale:

$ k^2-10k-11=0 $

che sono appunto k1=11 e k2=-1, ma appena li metto nella equazione della condizione E, ossia:

$ 1/(1+sqrt(2(5-k)) /2)+1/(1-sqrt(2(5-k)) /2)=4/3 $

mi da' come risultato per k=-1 il paradosso che -1 sia uguale a 4/3; e per k=11 addirittura delle radici di -12 :(

Ho provato poi invano a risolvere anche i punti F e G, anche li mi sono venuti dei paradossi, casomai li postero' piu' avanti.

In attesa di un vostro cortese riscontro e ringraziandovi sentitamente per la collaborazione, vi saluto con cordialita' :)

William
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Re: trovare dei k per delle x capricciose

Messaggioda axpgn » 14/02/2018, 15:34

Molti di questi esercizi si risolvono senza trovare esplicitamente le radici ma utilizzando le proprietà delle equazioni di secondo grado, in particolare quelle relative alla somma e al prodotto delle radici.
Data une generica equazione di secondo grado $ax^2+bx+c=0$ tu sai che $s=x_1+x_2=-b/a$ e $p=x_1*x_2=c/a$

Da qui la E) diventa $(x_1+x_2)/(x_1x_2)=4/3$ cioè $3s=4p$ ... :wink:

Cordialmente, Alex
axpgn
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Re: trovare dei k per delle x capricciose

Messaggioda mic999 » 14/02/2018, 15:37

Il metodo più veloce per i primi punti è lavorare sul delta e ricodando che data l’equazione nella forma $a x^2 + b x + c=0$ la somma delle radici $x_1 + x_2 = -b/a $ e prodotto eradici $x_1 x_2 =c/a$:
A)imponi delta dell'equazione=0 (soluzioni reali e coincidenti)
B) sai che il prodotto delle radici è dato da $({k-3}/2)$.. quindi basta mettere prodotto radici=0 per soddisfare la condizione descritta
C) delta $>0$
D)somma delle radici $<0 $ e prodotto radici $>0$
E) sviluppa e metti a denominatore comune otttenendo ${x_2 + x_1}/{x_1 * x_2} =4/3$.. cosi nel primo membro ti compare la somma delle radici a denominatore e il prodotto delle radici a denominatore..
F) sviluppa secondo la regola del falso cubo:
$(x_1 ^3 + x_2 ^3) = (x_1+x_2)(x_1 ^2 –x_1 x_2 + x_2 ^2)= (x_1+x_2)(x_1 ^2 –x_1 x_2 + x_2 ^2 -2x_1 x_2 + 2 x_1 x_2)= (x_1+x_2) [(x_1+x_2)^2 -3x_1 x_2] $
E nei vari termini riconosci la somma e il prodotto delle radici…
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Re: trovare dei k per delle x capricciose

Messaggioda mic999 » 14/02/2018, 15:43

dimenticavo..
il punto G lo risolvi mettendo a sistema quella condizione che , con $x_2$ diversa da $0$ ti porta a $x_1 = 3x_2$, con:

${[x_1=3 x_2],[x_1 + x_2 =-b/a],[x_1 x_2 =c/a] :}$
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Re: trovare dei k per delle x capricciose

Messaggioda axpgn » 14/02/2018, 15:47

Non ne vedo la necessità ... basta $x_1^2=3p$
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Re: trovare dei k per delle x capricciose

Messaggioda william housebutters » 14/02/2018, 16:27

Ringrazio per le risposte, ho provato a svolgere il punto E con i consigli che mi avete dato e sono giunto a questo:

Immagine

quindi k dovrebbe valere 6 per risolvere la equazione E. Benissimo. Per verifica ho provato a sostituire k=6 ai valori delle x trovate e ho svolto i calcoli...

Immagine

a meno che non abbia sbagliato nel moltiplicare quelle radici negative, sono giunto a un paradosso con tanto di temutissima divisione per zero :cry:

e allora mi sono domandato, ma non e' che le x iniziali che ho ricavato sono sbagliate? ditemi voi...



Immagine

mi sembra giusto come procedimento... e allora dove diamine sta l'inghippo?? :cry: :cry: :cry:

grazie per l'attenzione. :|
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Re: trovare dei k per delle x capricciose

Messaggioda axpgn » 14/02/2018, 16:39

Semplicemente, non esistono $x_1$ e $x_2$ che soddisfino la E) ... non è necessario fare tutti quei conti per la verifica, ti basta sostituire $k=6$ in una delle espressioni delle radici ...
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Re: trovare dei k per delle x capricciose

Messaggioda giammaria » 14/02/2018, 22:11

@ william housebutters
Come ti è già stato detto, nel caso E) le soluzioni non sono reali e la verifica non è necessaria. Se però vuoi farla, deve comunque dare il giusto risultato, che a te non viene per due errori: nella penultima riga l'ultimo addendo va preceduto dal meno e nell'ultima riga sbagli un prodotto.
I calcoli giusti sono (uso il prodotto notevole $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$):

$(x_1+x_2)/(x_1x_2)=(1+sqrt(-2)/2+1-sqrt(-2)/2)/((1+sqrt(_2)/2)(1-sqrt(-2)/2))=2/(1-(sqrt(-2)/2)^2)=2/(1-(-2)/4)=2/(1+1/2)=2/(3/2)=4/3$

@axpgn
Nel caso G) è vero che $x_1^2=3p$, ma poi come continui? Preferisco la soluzione di mic999
- Indicando i metri con m e i centimetri con cm, si ha m=100 cm. Quindi 5 centimetri equivalgono a metri m=100*5=500.
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Re: trovare dei k per delle x capricciose

Messaggioda axpgn » 14/02/2018, 22:34

Scusami, ma lui ha già "trovato" $x_1$ ...
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Re: trovare dei k per delle x capricciose

Messaggioda giammaria » 15/02/2018, 09:06

Vero, ma prova a fare i calcoli e scoprirai che non sono brevi. Oltre a tutto, ottieni un'equazione irrazionale e bisogna controllare l'accettabilità delle due soluzioni ottenute (una va scartata).
Invece con l'altro metodo il sistema delle prime due equazioni dà subito i valori di $x_(1,2)$ ; sostituendoli nella terza ricavi $k$.
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