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[marzia89]

é dato un triangolo acutangolo ABC e si considerino i quadrati costruiti sui suoi cateti. si consideri l esagono DEFGHI ottenuto congiungendo i vertici dei quadrati. Dimostrare che la somma dei quadrati costruiti sui lati dell'esagono è il quadruplo della somma dei quadrati costruiti sui lati del triangolo.POTRESTE AIUTARMI, è davvero importante

[dan95]

La somma delle aree?

[Erasmus_First]

E' dato un triangolo acutangolo ABC e si considerino i quadrati costruiti sui suoi cateti.[...]

???
E' uno scherzo? Ci manca ancora più d'una settimana al 1° di aprile!
[Un triangolo ACUTANGOLO non ha "cateti"].
Ma supponiamo che si tratti di un puro "errore di sbaglio", cioè che la parola giusta in sostituzione di "cateti" sia "lati" (di un triangolo, prescindendo dalla sua forma, ossia dal fatto che il triangolo sia acutangolo, rettangolo o ottusangolo).

Si consideri l esagono DEFGHI ottenuto congiungendo i vertici dei quadrati. Dimostrare che la somma dei quadrati costruiti sui lati dell'esagono è il quadruplo della somma dei quadrati costruiti sui lati del triangolo

E' detto malucio ma si capisce lo stesso.
La dimostraziione è molto facile (sfruttando il teorema di Carnot).
Pertanto non mi pare che questo quesito sia di livello universitario.

Adesso dimostro quanto è richiesto
Ho fatto apposta una figura (bruttina, fatta a mano – perché ilvecchio computer su cui sono solito comporre figure geometriche si è rotto e su questo col quale sto scrivendo non so usare la grafica – tuttavia sufficiente ad accompagnare il discorso che segue.

Ecco la figura.

Figura esplicativa

a) Note le lunghezze a, b e c dei lati del triangolo ABC si possono trovare (col teorema di Carnot) i coseni degli angoli interni del triangolo.
$b^2 + c^2 - 2·bc·cos(α) = a^2$ ⇔ $cos(α) = (b^2 + c^2 - a^2)/(2bc)$; [*]
$c^2 + a^2 - 2·ca·cos(β) = b^2$ ⇔ $cos(β) = (c^2 + a^2 - b^2)/(2ca)$; [*]
$a^2 +b^2 - 2·ab·cos(γ) = c^2$ ⇔ $cos(γ) = (a^2 + b^2 - c^2)/(2ab)$. [*]
b) Dei 6 lati dell'esagono DEFGHI 3 sono uguali ai lati del triangolo e 3 hanno lunghezze per ora incognite (diciamole x, y e z). [V. la figura qui sopra].
E' però facile calcolare queste tre incognite osservando –sempre nella figura qui sopra – che i lati di lunghezza rispettiva x, y e z sono anche lati di triangoli nei quali sono rispettivamente opposti agli angoli supplementari degli angoli del triangolo ABC mentre gli altri due lati sono uguali a due lati di ABC. Si sa che il coseno del supllementare di un angolo è l'opposto del coseno di quell'angolo. Pertanto, sempre con Carnot – e sempre con riferimento alla figura qui sopra – e mettendo in conto le uguaglianze [*] si ha dunque:
$x^2 = b^2 + c^2 +2·bc·cos(α) = b^2 + c^2 + 2·bc·(b^2 + c^2 - a^2)/(2bc) = 2(b^2 + c^2) – a^2$;
$y^2 = c^2 + a^2 +2·ca·cos(β) = c^2 + a^2 + 2·ca·(c^2 + a^2 - b^2)/(2ca) = 2(c^2 + a^2) – b^2$;
$z^2 = a^2 + b^2 +2·ab·cos(γ) = a^2 + b^2 + 2·ab·(a^2 + b^2 - c^2)/(2ab) = 2(a^2 + b^2) – c^2$.
Sommando membro a membro si ottiene:
$x^2 + y^2 + z^2 = 2(b^2 + c^2) - a^2 + 2(c^2 + a^2 ) - b^2 + 2(a^2 + b^2) - c^2 = 3(a^2 + b^2 + c^2)$
ossia
$x^2 + y^2 + z^2 = 3(a^2 + b^2 + c^2) [**]
Da questa [**] aggiungendo a ciascuno dei due membri la quantità $a^2 + b^2 + c^2" si ha infine:
$x^2 + c^2 + y^2 + b^2 + z^2 + a^2 = 4(a^2 + b^2 + c^2)$. [***]

La [***] dice appunto che la somma dei quadrati delle lunghezze dei lati dell'esagono DEFGHI vale il quadruplo della somma dei quadrati delle lunghezze dei lati del triangolo ABC.
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