Area laterale sezione di un cilindro.

[TheBarbarios]

Buonasera a tutti.

Sto avendo difficoltà a risolvere un punto di un problema.

La situazione è questa:

In un piano x, y, z, ho un cilindro dato dalla relazione $x^2 + y^2 <= r^2$. Devo considerare la parte del cilindro $C$ tale che $0<= z <= y$. Calcolare l'area laterale di C in funzione del raggio.

In altri punti del problema trovo che la lunghezza dell'arco di base per un generico angolo è $a = r\theta$ e la distanza tra il punto $(r, rcos\theta , rsin\theta)$ e il punto $(r, rcos\theta, 0)$ è $b = rsin\theta$

Il risultato è $2r^2$ ma sinceramente non so come arrivarci. L'unica cosa che mi è venuta in mente è integrare

$ \int_{0}^{\pi}r (rsin\theta) d\theta = 2r^2$ ma ci sono arrivato vedendo il risultato, non per chissà quale ragionamento e non so nemmeno se sia il procedimento giusto. Qualcuno può aiutarmi?

[TheBarbarios]

In particolare, per calcolare la misura della superficie cilindrica di sostegno \(\Sigma_3\), una volta parametrizzata: \[ (x,\,y,\,z) := \mathbf{r}(u,\,v) = (R\,\cos u, \; R\,\sin u, \, v), \; \; \; \text{per} \; (u,\,v) \in A := \left[0,\,\pi\right] \times \left[0,\,R\,\sin u\right] \] applicando banalmente la definizione di integrale di superficie, si ha: \[ |\Sigma_3| := \iint\limits_{\Sigma_3} 1\,\text{d}\sigma := \iint\limits_A \left|\mathbf{r}_u(u,\,v) \land \mathbf{r}_v(u,\,v)\right|\text{d}u\,\text{d}v = \int_0^{\pi} \text{d}u \int_0^{R\,\sin u} R\,\text{d}v = 2\,R^2\,. \] Spero sia sufficientemente chiaro.

Ti seguo fino alla parte citata, poi mi perdo nella notazione che non mi è familiare. Cosa intendi con "parametrizzare"?

Poi vedo che in sostanza integri come ho fatto io solo che aggiungi un passaggio dove poni come estremi $0$ e $R sin\theta$ ed integrando $R$ però, oltre a non capire il significato di questo primo integrale (perchè integri $R$?) così facendo che cosa si trova, l'altezza della sezione? E, poi, integrando tra $0$ e $\pi$ l'angolo, trovi l'estensione in laterale della base (l'arco di circonferenza di base intendo) di questa superficie?

[TheBarbarios]

Grazie mille, ora ho capito perché quell’integrale funziona.