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Ciao, non capisco come trovare il punto $b$ del seguente problema.


Il resto della divisione di $x^3$ per $x^2 -x+1$ è $a$, e il resto di $x^(2007)$ per $x^2 - x +1$ è $b$. Trova $a$ e $b$.

Dal prodotto notevole o dalla divisione si trova facilmente che $a = -1$ ma per $b$ non ho idea. Evidentemente c'è qualche ragionamento da fare al posto del calcolo, ma non mi viene in mente niente.

$x^{2007}+1$ è divisibile per $x^3+1$, e di conseguenza anche per $x^2-x+1$, quindi te lo scrivi come $(x^{2007}+1)-1$ e si vede immediatamente che $b=-1$.

spugna ha scritto:$x^{2007}+1$ è divisibile per $x^3+1$

Come si fa a capirlo?

Ponendo $y=x^3$, segue dal fatto che $y^669+1$ è divisibile per $y+1$ (in teoria è anche questo un prodotto notevole, comunque con Ruffini è immediato).

spugna ha scritto:Ponendo $y=x^3$, segue dal fatto che $y^669+1$ è divisibile per $y+1$ (in teoria è anche questo un prodotto notevole, comunque con Ruffini è immediato).

Con Ruffini è immediato perché ponendo $x=-1$ entrambi i monomi $x^(2007) +1$ e $ x^3 +1$ si annullano?

Non $x=-1$ ma $y=-1$

spugna ha scritto:Non $x=-1$ ma $y=-1$

Ah si, giusto. Ho capito, grazie.