Equazione trigonometrica

[fierropi]

Salve,

cortesemente se qualcuno potrebbe scrivere i passaggi per risolvere la seguente equazione trigonometrica:

3 [1 - sen(x)cos(x)] + 2 sen(x) = sen(x)sen(2x)

Grazie tante in anticipo

[@melia]

Hai l'equazione: $3(1-sinxcosx)+2sinx=sinxsin2x$
Il primo mebro lo lasci invariato e lavori per ora sul secondo sviluppando il $sin2x$: $3(1-sinxcosx)+2sinx=2sin^2xcosx$
Portando tutto al primo membro fai un raccoglimento parziale: $3(1-sinxcosx)+2sinx-2sin^2xcosx=0$
$3(1-sinxcosx)+2sinx(1-sinxcosx)=0$
$(1-sinxcosx)(3+2sinx)=0$
E ora applichi la legge di annullamento del prodotto ai due fattori e ti riduci a risolvere un'equazione goniometrica elementare che tra l'altro è impossibile e un'equazione goniometrica lineare, che immagino sai risolvere, ma che ti dovrebbe dare impossibile. In conlcusione tutta l'equazione è impossibile se non sbaglio. Saluti!

[fierropi]

Grazie tante per l'aiuto.
Cortesemente se potessi aiutarmi anche in questa:
sen^2 (x)cos^2 (x)=1
Grazie ancora

[ZfreS]

Certamente! Mi fa piacere aiutare altri studenti come me in difficoltà! Quest'equazione appare strana al primo sguardo ma basta cambiare punto di vista sul fattore $cos^2x$ e vederlo come $1-sin^2x$. E questo si ricava dalla prima relazione fondamentale della goniometria. A questo punto riscriviamo l'equazione $sin^2xcos^2x=1$ in questo modo:
$sin^2x(1-sin^2x)=1$. Ora abbiamo un'equazione tutta in seno il che ci rende il gioco molto più semplice, dunque passiamo a moltiplicare i due fattori e portare l'uno al primo membro:
$sin^2x-sin^4x-1=0$ , riordinando e cambiando i segni:
$sin^4x-sin^2x+1=0$
Ora osserviamo che l'esponente della funzione seno è $4$ e quindi siamo di fronte ad un'equazione goniometrica di quarto grado il che non ci deve spaventare perchè potremmo risolverla facilmente utilizzando un bel escamotage ovvero quello del cambio di variabile, assegnamo a $sin^2x$ un'altra variabile, per esempio $z$ e allora $sin^4x$ diventerà $z^2$
Ora riscriviamo l'equazione(che è diventata di secondo grado)con la nuova variabile e ne troviamo le soluzioni:
$z^2-z+1=0$ Immagino tu la sappia risolvere, questa equazione è impossibile nell'insieme che stiamo considerando ovvero i reali, dunque non potendo assegnare nessuno valore di $z$ a $sin^2x$ il che ci porta a concludere che anche l'equazione goniometrica di partenza è impossibile. Spero di essere stato chiaro nella spiegazione, buono studio e tanti saluti!

[seb]

Ben più rapido è notare che sia il seno che il coseno hanno modulo minore o pari a uno e dunque pure i loro quadrati, oltre a essere non negativi, sono minori di \(1\). Il prodotto di tali quadrati vale \(1\) se e solo se entrambi sono contemporaneamente l'unità e ciò non accade mai (per definizione si potrebbe dire).
Altra maniera: \(\sin^2{x}\cos^2{x}=(\sin{x}\cos{x})^2=\frac{1}{4}\sin^2{(2x)}=1\implies\sin^2{(2x)}=4\) che, per quanto detto anche prima, è sempre falso.

[ZfreS]

Ottima osservazione seb!

[fierropi]

Grazie tante a entrambi!