La via più breve?
$sqrt(3) cotx-4cos^2x≥0$ diventa, con un po' di passaggi, $cosx/sinx*(sqrt3-4sinxcosx)>=0$ da cui i fattori
1) $cosx>=0$
2) $sinx>0$
3) $sqrt3-4sinxcosx>0$ che diventa $2sinxcosx<=sqrt3/2$ cioè $sin2x<=sqrt3/2$
adesso grafico del segno dei 3 fattori, l'ultimo va ripetuto perché il suo periodo è la metà di quello dei primi due.
Il terzo fattore può essere studiato anche come ha spiegato olegfresi, ma la strada è un po' più lunga.