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Testo: trova i valori di $k$ affinché l'equazione di secondo grado $(2k+3)x^2 - (k+4)x + 1= 0$ ammetta:

1) due soluzioni positive

2) due soluzioni negative

3) due soluzioni discordi.


La mia difficoltà non è nel metodo da adoperare per risolvere questo problema, ma nel calcolo: come posso trasformare il delta dell'equazione, che è $k^2 + 4$, per ricondurmi a un quadrato di un binomio (o altro) e quindi risolvere agevolmente l'equazione di secondo grado?

Questo tipo di esercizi non si risolve così (sto presumendo che tu stia usando l'usuale formula risolutiva).
Devi invece usare il fatto che la somma delle radici è uguale a ... e il prodotto delle radici è uguale a ...

Cordialmente, Alex

axpgn ha scritto:Questo tipo di esercizi non si risolve così (sto presumendo che tu stia usando l'usuale formula risolutiva).
Devi invece usare il fatto che la somma delle radici è uguale a ... e il prodotto delle radici è uguale a ...

Cordialmente, Alex

Il tuo ragionamento lo volevo applicare all'ultimo quesito: infatti due soluzioni discordi hanno prodotto negativo => applicando la formula $c/a$ pongo 2k + 3 < 0 e risolvo.

Nel caso, per es., delle soluzioni positive, non credo di poter applicare un ragionamento analogo sfruttando la formula $-b/a$ (perché se ponessi la somma positiva non è detto che entrambe le soluzioni lo siano) => volevo fare così:

1) trovo le due radici con il parametro k

2) imposto un sistema di disequazioni imponendo entrambe le radici maggiori di 0


Col mio ragionamento però non posso fare a meno di applicare nozioni relative alle disequazioni irrazionali, perché non sono riuscito a semplificare il delta in modo da togliermi la radice (e questo mi sembra strano, visto che non le ho ancora trattate nel libro).

In effetti non avevo considerato questo: se due radici sono positive, la loro somma è positiva e il loro prodotto è positivo. Quindi mi riconduco al caso che hai delineato tu.

Eh ...

1) $ { ( c/a>0 ),( -b/a>0 ):} $

2) $ { ( c/a>0 ),( -b/a<0 ):} $

3)$ c/a<0 $

In questo esercizio non ci sono problemi, perché il $Delta$ è sempre positivo, ma alle suddette condizioni andrebbe aggiunto $Delta>=0$

Grazie a tutti per le risposte.

Alla fine l'ho risolto sia con il mio metodo che ho descritto nel mio secondo messaggio in questa discussione (impostando il sistema di disequazioni irrazionali), sia col metodo che mi ha suggerito Axpgn.