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La funzione è: $sqrt(x^2-1)-|x|+1$

In entrambi i casi ($x->+-oo$) si ha una f.i. $oo-oo$ con risultato $1$.

Per cercare di eliminare la forma indeterminata ho pensato di razionalizzare applicando: $sqrt(A)+-B(sqrt(A)+-B)/(sqrt(A)+-B)$

Con $x->+oo$ il limite della funzione diventa: $lim_(x->+oo) sqrt(x^2-1)-x+1$
Svolgimento:


Con $x->-oo$ il limite della funzione diventa: $lim_(x->-oo) sqrt(x^2-1)+x+1$
Procedendo allo stesso modo di prima non ottengo il risultato corretto. Posto comunque il mio svolgimento:

Non scartabello lo svolgimento (a quest'ora, poi……………) ma posso assicurarti che il risultato è corretto:

$\lim_ (x->+-∞)f(x)=1$

Di conseguenza la tua funzione, che è tutta $0<=f(x)<1$ (uguale a 1 all'infinito), ha asintoto orizzontale

$y=1$

Senza il valore assoluto, l'andamento della funzione è grosso modo questo



quando x è positivo, e questo



quando x è negativo. Ricordiamo che per $-1<x<1$ la funzione non esiste.

Considerando il valore assoluto, f(x) assume l'andamento (1) per x (ovviamente positivo) che tende a più infinito, e viceversa l'andamento (2) per x che tende a meno infinito. Il grafico della $f(x)$ con il valore assoluto assumerà questo andamento:



dove sono evidenti l'esistenza e la posizione dell'asintoto.

L'errore è quando, portando fuori dalla radice quadrata $x^2$ non metti il valore assoluto, fino a
$lim_(x->-oo) (-2-2x)/(sqrt(x^2-1)-x-1)$ è corretto, ma poi dovresti proseguire con

$lim_(x->-oo) (-2-2x)/((|x|sqrt(1-1/x^2)-1-1/x))=lim_(x->-oo) (-2-2x)/(-x(sqrt(1-1/x^2)+1+1/x))$ che, semplificando, diventa

$lim_(x->-oo) (2+2/x)/(sqrt(1-1/x^2)+1+1/x)=1$