Punto medio di un segmento

[rombo]

Il punto medio di un segmento nei due punti $A(x_1,y_1)$ e $B(x_2,y_2)$ è formulato come $M((x_1+x_2)/2,(y_1+y_2)/2)$. Mettiamo il caso dove le ordinate sono uguali $y_1=y_2$ ed il punto medio è $M((x_1+x_2)/2,y_1)$.

domando: perché questa formulazione funziona sia nel caso $x_2 > x_1$ sia $x_2 < x_1$?
La dimostrazione dice (OA, ... sono tutte misure di segmenti) con l'origine $O(0,0)$:

$x_M = OM_x = OA_x + A_xM_x = OA_x + (A_xB_x)/2$
fissato $OA_x = x_1$
$A_xB_x = x_2 - x_1$ con $x_2 > x_1$ si ha

$OM_x = x_M = x_1 + (x_2 - x_1)/2 = (x_1 + x_2)/2$

ora mi sembra non considerare il fatto che non è vero che $x_2 > x_1$ sempre; infatti è da definizione di distanza tra i punti differire in $AB = x_2 - x_1$ se $x_2>x_1$ e $AB = x_1 - x_2$ se $x_2 < x_1$ cioè $AB = | x_2 - x_1|$
Se valuto ora il punto medio, differenziando con il valore assoluto nella misura di AB, ho per $x_2 < x_1$:

...
$A_xB_x = x_1 - x_2$ con $x_2 < x_1$ si ha

$OM_x = x_M = x_1 + (x_1 - x_2)/2 = (3x_1 - x_2)/2$

che è ben differente dal caso generale. Il mio errore di comprensione è algebrico oppure geometrico?

Grazie

[anto_zoolander]

Il punto medio di un segmento di estremi $P,Q$ è l’unico a punto che soddisfa l’equazione $PM=MQ$ che è equivalente a $QM=MP$ dunque se fissi un sistema di coordinate avrai che

$QO+OM=MO+OP=>2OM=OP+OQ => OM=1/2(OP+OQ)$

Dunque le coordinate $M(m_1,m_2)$ sono $M((x_1+x_2)/2,(y_1+y_2)/2)$

È chiaro che quì non abbiamo nemmeno parlarocdi distanza, però se proprio puoi farlo puoi notare che è anche l’unico punto tale che $|PM|=|MQ|$ e non c’è alcun motivo di porre restrizioni

Per esempio $P(1,2)$ e $Q(-1,3)$ allora $M(0,5/2)$

[rombo]

grazie, la tua dimostrazione mi è piuttosto limpida e non ho dubbi sui passaggi e sulla formulazione di punto medio.

Rimane però il fatto che non riesco a capire la dimostrazione che ho proposto. Non riesco a capire perché, se non è necessario porre restrizioni, il tutto crolla nel caso $x_2 < x_1$. Dov'è l'inghippo?

[@melia]

Nel tuo caso devi dividere la dimostrazione in due parti, utilizzando come primo segmento quello avente ascissa minore, oppure utilizzare i segmenti orientati, nel tal caso $A_xB_x$ può essere un segmento negativo se $x_B<x_A$, il segno sta ad indicare il suo orientamento se concorde o discorse con la retta delle ascisse.