Risolvere senx > cosx algebricamente

Messaggioda Gortello » 02/08/2018, 03:11

Vorrei risolvere questa disequazione algebricamente. Da grafico si fa con un attimo e si vede che è l'intervallo aperto tra π/4 e 5π/4 periodici di 2π. Non riesco a capire però perché risolvendo algebricamente non mi riporta. Io procedo così così.

Applico l'identità trigonometrica e sostituisco cosx così ho solo un'incognita cioè senx:
senx > √(1 - sen²x)
Per comodità sostituisco senx con k:
k > √(1 - k²)
Elevo al quadrato a destra e a sinistra della disuguaglianza:
k² > 1 - k²
2k² > 1
k² > 1/2
Siccome c è il verso maggiore si prendono soluzioni esterne, quindi:
-√2/2 > k > √2/2
Ma k era senx:
-√2/2 > senx > √2/2
Quindi:
(π/4 > x > 3π/4) ∪ (5π/4 > x > 7π/4)
Periodici di 2π. Non capisco dove sbaglio. Qualcuno saprebbe trovarmi l'errore e risolvermela? Sempre se non è un procedimento lunghissimo
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Re: Risolvere senx > cosx algebricamente

Messaggioda giammaria » 02/08/2018, 15:56

Complimenti a TeM per acer decifrato la domanda, nonché per la bella risposta. Ed un consiglio a Cilatorc: per imparare a scrivere le formule puoi consultare la guida, che trovi in VITA DA FORUM - Questioni tecniche - Come si scrivono le formule. Oppure puoi cliccare su CITA in una mail che contenga la formula che ti interessa e leggere cosa vi è stato digitato.

Venendo ala tua domanda, aggiungo a quanto già detto la correzione di un altro errore: è lecito elevare a quadrato una diseguaglianza solo quando si ha la certezza che entrambi i membri sono positivi, mentre tu lo hai fatto senza badarvi.
Il primo metodo indicato da TeM è scomodo, sia per la presenza del $+-$, sia perché richiede l'esame dei segni dei due membri (altrimenti non puoi elevare a quadrato); buono invece il secondo e ve ne aggiungo un terzo, che mi sembra più spontaneo.
$sin x>cosx$
Non possiamo dividere per $cosx$ perché non ne sappiamo il segno, ma possiamo metterlo in evidenza lavorando così:
$sinx-cosx>0$
$cosx(tanx-1)>0$
Ora risolvi le disequazioni $cosx>0$ e $tanx-1>0$ e fai il grafico dei segni.
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Re: Risolvere senx > cosx algebricamente

Messaggioda axpgn » 02/08/2018, 16:31

giammaria ha scritto:... Il primo metodo indicato da TeM è scomodo, sia per la presenza del $+-$, sia perché richiede l'esame dei segni dei due membri (altrimenti non puoi elevare a quadrato); buono invece il secondo e ve ne aggiungo un terzo, che mi sembra più spontaneo.

È vero che il primo metodo è scomodo e complicato ma è l'unico realmente algebrico, a mio parere ...
Il secondo, di fatto, presuppone che tu conosca già la risposta (altrimenti perché introdurre proprio $sqrt(2)/2$? :wink: ).
E lo stesso vale per il tuo ... IMHO ... :D

Cordialmente, Alex
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Re: Risolvere senx > cosx algebricamente

Messaggioda giammaria » 02/08/2018, 21:30

Bé, un metodo che parta dalla prima formula fondamentale della goniometria non è del tutto algebrico.
Il secondo metodo di TeM non presuppone la conoscenza della risposta. E' il metodo dell'angolo aggiunto, che Cilatorc dovrebbe ricordare dalle equazioni lineari: quando il rapporto fra i coefficienti di seno e coseno è la tangente di un angolo speciale, si cerca di far comparire seno e coseno di quell'angolo.
E neanche il mio la presuppone. Si basa sul ragionamento: vorrei dividere ma non posso; faccio allora una pseudo-divisione, mettendo in evidenza.
Ed infine, non è male che Cilatorc tocchi con mano che non sempre il metodo algebrico è il migliore. Ma se proprio vuole usarlo, farebbe bene a ripassare le disequazioni irrazionali.
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Re: Risolvere senx > cosx algebricamente

Messaggioda axpgn » 02/08/2018, 21:58

giammaria ha scritto:Bé, un metodo che parta dalla prima formula fondamentale della goniometria non è del tutto algebrico.

... mmm ... insomma ... è la definizione stessa di seno e coseno partendo dalla circonferenza goniometrica ...

giammaria ha scritto:... quando il rapporto fra i coefficienti di seno e coseno è la tangente di un angolo speciale, si cerca di far comparire seno e coseno di quell'angolo. ...

Appunto, devi introdurre qualcosa che conosci a priori così come nel tuo ($tan x > 1$)

giammaria ha scritto:Ed infine, non è male che Cilatorc tocchi con mano che non sempre il metodo algebrico è il migliore.

Oh, sono d'accordo, peccato che lui volesse proprio quello (vedi titolo)

Cordialmente, Alex
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Re: Risolvere senx > cosx algebricamente

Messaggioda Gortello » 03/08/2018, 05:29

Grazie a tutti per le risposte e scusate per non aver usato le formule come andavano scritte, ma ho copiato e incollato il testo perché l'ho mandato a un mio amico. Ho provato a fare tutti e due i metodi che mi avete consigliato e devo dire che il più veloce è stato quello di gianmaria, anche se non so se sia algebricamente o meno. Purtroppo sono molto arrugginito e ho ricominciato da poco a fare qualche esercizio così per divertirmi e posso sbagliare qualcosa. Il metodo di TeM è quello che mi ha fatto impazzire, nel senso che ho copiato metà del messaggio e poi ho proceduto per conto mio. Praticamente ho preso i due sistemi che mi ha citato e li ho divisi a loro volta in due pezzi. Uno per il $sinx < 0$ e uno per il $sinx ≥ 0$. Praticamente mi sono venuti 4 sistemi diversi che praticamente rappresentavano le soluzioni nei 4 quadranti del piano. Due quadranti, cioè II e IV sono stati facili perché la disequazione $senx > \pm\sqrt{1 - sen²x}$ non era mai verificata o sempre verificata quindi metà lavoro è stato fatto. Poi per II e IV quadrante ho preso gli intervalli in comune e alla fine ho unito tutti gli intervalli e mi è venuto il risultato cercato. Spero di aver scritto correttamente le formule e magari farò pratica cercando di aiutare qualcuno, ma devo ammettere che è stata dura riuscire a scrivere un paio di formule correttamente (sempre se ci sono riuscito). Grazie ancora e mi avete tolto un peso. Erano giorni che non riuscivo a risolvere questo esercizio e anche a lavoro quando facevo la pausa pranzo mi portavo dei fogli A4 e provavo a risolvere la disequazione, senza riuscirci purtroppo
Ultima modifica di Gortello il 03/08/2018, 08:05, modificato 1 volta in totale.
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Re: Risolvere senx > cosx algebricamente

Messaggioda Gortello » 03/08/2018, 05:34

Ho fatto un pastrocchio con le formule :oops: Come fate a scriverle? Ho visto sul regolamento e c'è scritto
È fortemente consigliato scrivere le formule usando il linguaggio MathML o TeX
e io ho cliccato sul bottone "formule" e mi è apparso il tag HTML, solo che dall'anteprima non si vede nulla
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Re: Risolvere senx > cosx algebricamente

Messaggioda giammaria » 03/08/2018, 06:55

Cilatorc ha scritto:Ho fatto un pastrocchio con le formule :oops: Come fate a scriverle? ... io ho cliccato sul bottone "formule" ...

Io non riesco ad usare il bottone "formule"; le scrivo usando MathML e le istruzioni della guida. Ti faccio qualche esempio ed in essi quello che metto dopo la parola "scrivo" va preceduto e seguito dal segno del dollaro; puoi controllarlo cliccando su CITA.

Per ottenere $2/3+(x^3-1)/(x+2)$ scrivo 2/3+(x^3-1)/(x+2)

Per ottenere $sqrtx+sqrt(x-1)$ scrivo sqrtx+sqrt(x-1)

Per ottenere $cosx=+-sqrt(1-sin^2 x)$ scrivo cosx=+-sqrt(1-sin^2 x)

Fra i segni del dollaro, gli spazi vuoti di solito non hanno importanza; ad esempio è lo stesso scrivere sqrtx oppure sqrt x. Se però nell'anteprima noti effetti indesiderati, prova a mettercene qualcuno.
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Re: Risolvere senx > cosx algebricamente

Messaggioda Gortello » 03/08/2018, 08:06

Ci sono riuscito! Grazie mille. Basta mettere il dollaro prima e dopo la formula e ho fatto
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