Scomposizione radicali e sottoinsiemi del dominio

Buongiorno, ho un problema con un esercizio il quale mi chiede di "dire in quali punti del loro dominio queste funzioni possono essere scritte nella forma":

ad esempio √x^2-1 = √1-x√1+x, visto che in questi casi la scomposizione senza modulo genera dei sottoinsiemi del Dominio della f(x) iniziale, l'esercizio chiede di determinare tali sottoinsiemi dove la scomposizione è valida.
Ora quanto la scomposizione è sotto radice non ho difficoltà, mentre non capisco |x|√1-x^2, oppure -x√1-x^2. In questi casi il radicando lo pongo >=0 e trovo l'intervallo, ma la funzione della bisettrice che moltiplica il radicando come devo porla?

Qualcuno può aiutarmi? Grazie!

Se si capisse qualcosa ...

Anche se il testo è piuttosto confuso, provo ad interpretarlo.

Esercizio 1

1. $[f(x)=sqrt(x^2-1)] rarr [x lt= -1 vv x gt= 1]$

2. $[f(x)=sqrt(x+1)*sqrt(x-1)] rarr [x gt= 1]$

Soluzione

$x gt= 1$

Esercizio 2

1. $[f(x)=sqrt(x^2-x^4)] rarr [-1 lt= x lt= 1]$

2. $[f(x)=|x|*sqrt(1-x^2)] rarr [-1 lt= x lt= 1]$

Soluzione

$-1 lt= x lt= 1$

Esercizio 3

1. $[f(x)=sqrt(x^2-x^4)] rarr [-1 lt= x lt= 1]$

3. $[f(x)=-x*sqrt(1-x^2)] rarr [-1 lt= x lt= 0]$

Soluzione

$-1 lt= x lt= 0$

Per comprendere il secondo e il terzo esercizio è necessario osservare che sulla medesima funzione iniziale:

$[f(x)=sqrt(x^2-x^4)] rarr [-1 lt= x lt= 1]$

per non restringerne il dominio:

$[f(x)=sqrt(x^2-x^4)] rarr [f(x)=|x|sqrt(|1-x^2|)] rarr [f(x)=|x|sqrt(1-x^2)]$

Quindi, mentre nel secondo esercizio il dominio non si modifica, nel terzo esercizio si restringe, dato che:

$|x|=-x$

se e solo se $[x lt= 0]$.

Hai compreso benissimo Sergent! E' tutto chiaro grazie!

Evidentemente Sergeant è dotato di una sfera di cristallo…………………..

Anche due …

Anche due ...

Ma non di cristallo.

Beh, allora non si rompono ...