Esercizio area segmento parabolico

' Determina il valore positivo di $a$ tale che la parabola $y=x^2 +1$ divida in due parti uguali l'area del rettangolo di vertici $A(0;0), B(a;0), C(0;a^2 +1), D(a;a^2+1)$. '


Mi ricavo l'area del rettangolo sfruttando le coordinate dei punti: la distanza fra $A$ e $B$ è $a$; la distanza fra $A$ e $C$ è $a^2+1$, quindi l'area del rettangolo $ABCD$ è $a*(a^2+1)$.

L'equazione della retta secante la parabola avrà allora equazione $y=a^2+1$ e l'equazione della retta tangente $y=1$. Il problema però sorge nel fatto che il rettangolo ha un solo punto in comune con la parabola; se un lato del rettangolo avesse avuto due punti in comune avrei potuto applicare la formula dell'area del segmento parabolico, secondo la quale tale area è uguale a $2/3$ di quella del rettangolo.

La parabola intersecando il rettangolo forma "mezzo" segmento parabolico retto (l'asse delle ordinate alias lato del rettangolo lo taglia esattamente a metà) … da qui devi partire …

Cordialmente, Alex

Ok, ci sono arrivato.

Però lo ammetto: ho visto la risposta e ho rappresentato nel piano la parabola e il rettangolo. Se non l'avessi fatto non so se ci sarei arrivato...

Vedo un primo orrore in

L'equazione della retta secante la parabola avrà allora equazione $ y=a^2+1 $

che mi auguro sia solo un errore di ortografia, dato che quella che hai scritto non è certo l'equazione di una retta.

Seconda cosa: mi sembra di avere capito che sei partito sparato con i calcoli prima di avere fatto il disegno. Se non ho frainteso, questo è un grave errore di procedura che molti studenti, probabilmente male consigliati, commettono. Buttare giù anche solo uno schizzo relativo ai dati aiuta moltissimo a farsi un'idea corretta della situazione geometrica.

Per quanto riguarda la soluzione, vedo che con l'aiuto di Alex hai già risolto………….. $a=\sqrt3$, se non ho toppato.

Marco

Sì, esatto, ho trovato quella soluzione.

Grazie per il consiglio! ☺

Comunque $y=a^2 +1$ è l'equazione della retta parallela all'asse $x$ che passa per $C$ e $D$. $a$ è un parametro in questo caso.

Ahhhhhhhhhhhhhhh……………...tutto chiaro, chiedo venia.

Ciao.