Probabilità

[teorema55]

Ci provo io ...
………………………………..
Cordialmente, Alex

Quasi d'accordo (come molto spesso) con te, volpone.

Ma (e butto il sasso nello stagno) non è detto che il punto P' sia proprio alla base del palo A, come non è detto che il P'' sia proprio a metà del palo B

Con simpatia.

Marco

[teorema55]

Mi correggo parzialmente:

Tutte le coppie $(A, B)$ di punti possibili (ovvero tutte le rette) si possono rappresentare sul piano cartesiano con il rettangolo intero ($1 xx 2$) disegnato da Sergeant Elias; d'accordo anche su questo?

Mica tanto…………………..

[axpgn]

Perché?

Poniamo che $A$ sia a $0.3$ metri e il punto $B=0.5$; il punto di coordinate $(0.3, 0.6)$ è all'interno del rettangolo di Sergeant Elias.
Poniamo che sia $A=0.75$ e $B=0.2$; anche questo punto si trova all'interno del rettangolo, così come $(0.9, 1.25)$ o come $(0.01, 0.005)$ o come $(0.85, 1.97)$ e potrei proseguire all'infinito ...
Trovami tu adesso una coppia $(A, B)$ che rispetti le condizioni date (cioè $A$ si trovi sul primo palo e $B$ sul secondo) che si trovi FUORI da quel rettangolo ...
Ti devi togliere dalla testa l'idea che ti sei fatto che il disegno di @anonymous_0b37e9 rappresenti i due pali e la retta tra di loro: non c'entra NULLA!
Quel disegno è un bel modo per calcolare semplicemente e velocemente la probabilità cercata.

Cordialmente, Alex

[teorema55]

Forse si schiarisce l'orizzonte………………….per ogni segmento che abbia estremi sui pali il calcolo (e il risultato) sono diversi. Il risultato ottenuto da Sargeant è corretto solo nel caso di una situazione come quella da lui rappresentata.

Nel caso $P'=1/2$ e $P''=3/2$ il risultato sarebbe ovviamente diverso. Per pali distanti un metro sarebbe $Pr=1/2$

E la distanza tra i pali non influenza il problema? Penso di sì: se i pali fossero distanti $2m.$ la probabilità sarebbe $Pr=2/3$

[axpgn]

No, non ci siamo sei completamente fuori strada ... rileggi accuratamente quanto è stato scritto finora, se ti rimangono dubbi quando avrò più tempo ne riparliamo ...

[teorema55]

Non so se hai letto la mia ultima modifica. Comunque, volentieri.

Cordialmente.

Marco

[tommik]

E la distanza tra i pali non influenza il problema? Penso di sì

Ti assicuro di no. La soluzione proposta da @anonymous_0b37e9 è impeccabile¹.

Il risultato ottenuto da Sergeant è corretto solo nel caso di una situazione come quella da lui rappresentata.

E che situazione particolare avrebbe rappresentato secondo te? Ha semplicemente ipotizzato che la distribuzione dei punti sui due pali sia uniforme ed indipendente (che è l'unica ipotesi necessaria per risolvere il problema come ha fatto lui, anche se non specificata dalla traccia) e poi ha fatto il rapporto fra area favorevole ed area totale

Sono molto perplesso.

quante sarebbero le probabilità? Tante quanti sono i punti del palo B più alti di P', cioè infinite.

Eh beh considera che le variabili in questione sono continue, ovvero hanno misura nulla in un punto e quindi tutti gli infiniti casi che vedi hanno TUTTI probabilità pari a zero.....Forse non hai ben compreso il problema; traduco, anche se pleonastico, il testo della soluzione di Seargent....

siano A e B due variabli aleatorie indipendenti uniformi rispettivamente $A~ U[0;1]$ e $B~ U[0;2]$

Calcolare $P[A<B]$

Se guardi sul forum ci sono decine e decine di esempi simili, tutti svolti e commentati; si tratta di elementi molto elementari (scusa la cacofonia) di calcolo delle probabilità. Scritta in questo modo si può risolvere facilmente con le usuali tecniche di calcolo anche ipotizzando una distribuzione non uniforme

Ora dovresti aver capito; se sei interessato a verificarne la comprensione, prova a risolvere la seguente variante al problema

2 pali posizionati su un terreno orizzontale sono alti il primo 1m(A) e il secondo 2m(B).
Si posizionano contemporaneamente un punto su A e uno su B.
Calcola la probabilità che l'angolo formato dalla retta che congiunge A con B sia positivo, formando una retta che cresce andando da sinistra(A) a destra (B) sapendo che la quota di A è maggiore di $1/2$

ciao

---

Note

1. in realtà qualcosa da eccepire ci sarebbe: magari far sì che l'OP si sforzi un po' di più, dato che spesso e volentieri posta quesiti mancanti di qualsiasi impegno e sforzo, aspettando che la soluzione piova da cielo....ma piova già ben confezionata.... ↑

[Aletzunny]

Ciao...sto cercando di capire ma vedendo la soluzione non la trovo del tutto inerente con il programma di quarta liceo...
Quella formula dell'area non l'avevo mai vista!
Purtroppo ho un prof che ha insegnato fino all'anno scorso in università e spesso se ne esce con quesiti del genere, dove noi studenti troviamo difficoltà a comprenderli e anche voi spesso li ritenete mancanti di parti.

[teorema55]

………….. se sei interessato a verificarne la comprensione, prova a risolvere la seguente variante al problema

2 pali posizionati su un terreno orizzontale sono alti il primo 1m(A) e il secondo 2m(B).
Si posizionano contemporaneamente un punto su A e uno su B.
Calcola la probabilità che l'angolo formato dalla retta che congiunge A con B sia positivo, formando una retta che cresce andando da sinistra(A) a destra (B) sapendo che la quota di A è maggiore di $1/2$

ciao

Suppongo che sia da $1/2$ a $3/4$ a seconda dell'altezza di $A$...…………...

[tommik]

Suppongo che sia da $1/2$ a $3/4$ a seconda dell'altezza di $A$...…………...

...e grazie, ma questo valore occorre calcolarlo......altrimenti ad ogni esercizio di probabilità potresti dire: " sono quasi certo che il risultato sia un numero compreso fra 0 e 1"

Dopo questo piccola ma doverosa premessa, veniamo alla spiegazione.

Le variabili in questione sono assolutamente continue e quindi, in generale,

$P(A<B)=int int _(A<B)f_(AB)(a,b)dadb$ dove $f_(AB)(a,b)$ è la funzione di densità congiunta delle due variabili.

Nel caso in esame le due variabili sono uniformi indipendenti, per cui la funzione di densità congiunta è data da $f_A(a)f_B(b)=1*1/2=1/2$ che poi non è altro che il reciproco dell'area del rettangolo che ha disegnato @Sergeant. Infatti la distribuzione congiunta è uniforme (quindi costante) su tutto il suo dominio bivariato: il rettangolo $[0;1]xx[0;2]$ che è il luogo geometrico che rappresenta tutte le scelte possibili che si possono avere posizionando i due punti in maniera del tutto casuale ed indipendente sui pali A e B.

Calcolare la probabilità $P(A<B)$ è dunque semplicemente il rapporto fra le due aree in gioco: $(3/2)/2=3/4$ ma, in generale, dovresti risolvere il seguente integrale doppio

$int_0^1int_(a)^(2)f_(AB)(a,b)dadb=1/2int_0^1daint_(a)^(2)db=3/4$

La domanda che ti ho fatto successivamente è una semplice probabilità condizionata: $P(A<B|A>1/2)$

Banalmente, la soluzione è il rapporto fra le aree interessate ovvero

$P(A<B|A>1/2)=(5/8)/1=5/8$ come si vede bene dal grafico.



Prova a calcolare, ad esempio, $P(A<B|A<1/10)= 39/40$ e nota come si alza.

Ovviamente nulla vieta di usare la forumula valida in generale:


$P(A<B|A>1/2)=(P(A<B,A>1/2))/(P(A>1/2))=(1/2int_(1/2)^(1)daint_(a)^(2)db)/(int_(1/2)^(1)da)=(5/16)/(1/2)=5/8$

che in questo caso è del tutto inutile ma serve nei casi in cui la disribuzione congiunta non sia uniforme.

Spero che questo mio sforzo possa esserti stato utile per rispolverare questo importante argomento di probabilità. Purtroppo ho dovuto riassumere in poche righe numerosi concetti, ma per approfondimenti puoi guardare nella stanza di Statistica dove di esercizi simili ne ho risolti a centinaia...tutti risolti ed interamente commentati.