limiti di successioni e forme indeterminate

[curwen]

Ciao, sto studiando i limiti di successioni e non riesco bene a capire quando posso applicare alcune proprietà o forme indeterminate e quando no.

Prendiamo, ad esempio, la successione costante:
\[ \lim_{n \to \infty}3n^0=3 \]

Il limite è palesemente 3. Ora, sappiamo che $n-n=0 AAn$, quindi potremmo riscrivere scrivere la successione in questo modo:

\[ \lim_{n \to \infty}3n^0+n-n \]

Ed ecco la prima domanda: $n-n$ è già un limite notevole ($\infty-\infty$), e dunque devo eseguire qualche passaggio per liberarmene, oppure lo potrei eliminare semplicemente usando le regole algebriche, cioè ponendo $n-n=0$? A me sembra che sia vera la seconda ipotesi, ma come mai risulta possibile, visto che $n-n$ dovrebbe corrispondere a $\infty-\infty$, cioè a una forma indeterminata?
Ecco un altro caso, sempre molto banale:

\[ \lim_{n \to \infty}(\sqrt{n^2+1}-n)n=\frac{1}{2} \]

Questo limite si risolve moltiplicando e dividendo per $\sqrt{n^2+1}+n$. Supponiamo però di risolverlo in un altro modo:
\[ \lim_{n \to \infty}(\sqrt{n^2+1}-n)n=\bigg(\sqrt{n^2 (1+\frac{1}{n^2})} -n\bigg)n= \]
\[ =\bigg(n\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}-n\bigg)n=(n\sqrt{1+0}-n)n= \]
\[ =(n-n)n=0n=0\]

Il risultato è errato. A un certo punto ho sfruttato il fatto che $1/n^2$ è infinitesima. Anche in questo caso, mi sono trovato a un certo punto $n-n$ nell'espressione, ho semplificato ma non potevo semplificare, perché si trattava di una forma indeterminata $\infty-\infty$! Perché nel caso precedente potevo porre $n-n=0$ e ora non più? A senso, ho capito che il primo $n$ che mi trovo nell'espressione non è esattamente pari a $n$, quindi non ho, come nel primo caso $n-n$ esattamente uguale a 0. Ma a livello di procedure, esiste una regola precisa per capire quando devo fermarmi davanti a una forma indeterminata e quando no?

[Zero87]

$n-n$ è già un limite notevole ($\infty-\infty$)

In realtà $\infty-\infty$ è una forma indeterminata.
Comunque sia si tratta di una questione importante e interessante e molto più antica di quello che sembra.
Se vieni da uno scientifico magari ha visto il paradosso (di Zenone) sul movimento della freccia che dice che se scocco una freccia in un bersaglio, in ogni istante questa freccia è ferma ma nonostante tutto in un tempo finito raggiunge il bersaglio...
Tutto questo perché una somma infinita di termini infinitesimi può dare un risultato nullo, finito o infinito.

Sai, infatti che $lim_(n-> +infty) e^n/n = +\infty$ così come $lim_(n-> + infty) log(n)/n = 0$ ma anche $lim_(n->+\infty) (n^2)/(2n^2) = 1/2$,
Il principio è lo stesso poiché hai una somma infinita di termini infinitesimi (o comunque "1 + termine infinitesimo" che è sempre diverso da 1 per ogni $n$)

\[ =\bigg(n\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}-n\bigg)n=(n\sqrt{1+0}-n)n= \]

e non un semplice $n-n$.

Io l'ho spiegato molto alla buona, sperando di aver chiarito qualche dubbio.

[Indrjo Dedej]

Allora ciao.

Si è discusso a lungo su questo. Chi scrive ha espresso una volta, ed è ancora di questa idea, che notazioni come "$\infty-\infty$" che passano sotto il nome di forme indeterminate sono da eliminare senza il minimo riserbo. Il punto è che si pensa facciano comodo nella trattazione ed aiutano lo studente. Il che mi pare insensato. Primo perchè dal punto di vista formale non hanno senso d'essere: cosa significa "$\infty-\infty$"? E quel meno in mezzo? Mica $\infty$ è un numero reale... Secondo, a causa di dinamiche sottili nella mente dell'allievo, si insinuano dubbi come il tuo.
Mentre avrebbe più senso far sanguinare la testa dell'allievo sulla definizione di limite. La comprensione a fondo di questa sì che chiarisce le idee ed evita spataffiate come stare ancora a ragionare con le forme indeterminate.

Domanda: qual è il limite della successione \[\mathbb N \mapsto \mathbb R, \ n \mapsto n-n \ ?\] Eh be', è una forma indeterminata... Scordati le forme indeterminate. Quella successione è costante a $0$. Qual è il limte allora? Sempre $0$. Esercizio: Perché $0$? Usare la definizione di limite.
Il secondo caso è pieno di passaggi grossolani. In parole più povere: o tutte le $n$ tendono ad infinito o nessuna lo fa, mentre tu hai fatto una selezione. Appigliati alle regole di algebra che ti hanno insegnato dalle medie, a pochi limiti notevoli e ai teoremi che ti hanno insegnato. Tutto il resto è opinione, perché certi "trucchetti" funzionano a volte sì a volte no e io non mi fiderei tanto e nemmeno starei a collezionare caso per caso.

[curwen]

Grazie a entrambi.

In realtà ∞−∞ è una forma indeterminata.

Giusto, ho scritto male.

Chi scrive ha espresso una volta, ed è ancora di questa idea, che notazioni come "∞−∞" che passano sotto il nome di forme indeterminate sono da eliminare senza il minimo riserbo.

Credo che sia questo il punto: forse non è che non le capisco, è che non le sopporto . Insomma, una forma indeterminata starebbe lì a dire: "guarda, se mi trovi in un limite, devi eliminarmi in qualche modo, altrimenti non puoi calcolare il limite." Eppure, il semplice caso di $n-n$ è l'esempio di forma indeterminata $\infty-\infty$ che invece è perfettamente determinata!
Un altro esempio è il limite della progressione geometrica $q^n$ con $q=1$. Qui avremmo $1^\infty$, eppure sappiamo benissimo che il limite è 1 (noto ora che tutti questi casi hanno in comune di essere successioni costanti, forse sono quelle che in particolare fanno eccezione).

Il secondo caso è pieno di passaggi grossolani.

Sì, l'ho fatto di proposito per chiarire i miei dubbi. Dovendo sintetizzare, ho capito che dovrei

1. Fare prima tutti i possibili calcoli algebrici atti a semplificare l'espressione o a ricondurla a un limite notevole.
2. "Passare al limite" tutti gli n, e non solo alcuni. Una volta passato al limite, non continuare impunemente a fare operazioni algebriche.
3. Verificare se passando al limite non vi siano forme indeterminate e, nel caso, studiarle un attimo per capire se lo sono davvero, oppure se possono essere eliminate mediante il ragionamento o la definizione di limite.
4. Se sono effettivamente forme indeterminate, battere forte la testa sul tavolo e ricominciare dal punto 1, cercando un'altra strada.

[axpgn]

(Premetto che non sono d'accordo con Indrjo Dedej ma non lo sono mai quindi non è un problema , casomai ci torno più tardi)

Quando scrivi

... Eppure, il semplice caso di $ n-n $ è l'esempio di forma indeterminata $ \infty-\infty $ che invece è perfettamente determinata! ...

fai solo confusione: $lim_(n->infty) n-n$ è una forma indeterminata (nel senso comunemente inteso) ma confondi questo fatto con la facilità di calcolarne il limite; son due cose distinte.
La scrittura $infty-infty$ non è un'espressione matematica ma una stenografia (come dicono qui), un simbolo, una sigla, un'etichetta che sta al posto di una definizione più lunga (è la stessa cosa di quando parli del "Teorema di Pitagora" invece che elencare il suo enunciato) e la si usa perché fa comodo.
Quando calcoli un limite, in prima battuta sostituisci la variabile con il valore a cui tende e se non ne viene fuori niente si parla di forma indeterminata e si usa una sigla per identifcarla (sempre per comodità); si passa quindi ad altre tecniche risolutive.
Indrjo Dedej (come tutti i "duri e puri") vorrebbe che si usasse sempre la formalità però a me vien sorridere quando dice che le forme indeterminate "creano confusione" negli studenti mentre sarebbe meglio "far sanguinare" la loro testa (dimenticando sempre che la stragrande maggioranza degli studenti non sa che farsene della definizione di limite)

Cordialmente, Alex

[Zero87]

Quando scrivi

... Eppure, il semplice caso di $ n-n $ è l'esempio di forma indeterminata $ \infty-\infty $ che invece è perfettamente determinata! ...

fai solo confusione: $lim_(n->infty) n-n$ è una forma indeterminata (nel senso comunemente inteso) ma confondi questo fatto con la facilità di calcolarne il limite; son due cose distinte.

Ho letto le risposte e stavo scrivendo un papiro... ho visto la risposta di @axpgn e credo che il testo citato riassuma quanto volessi dire.

[curwen]

Io sono un neofita e non entro nel merito di una discussione che per me è troppo complessa. Però, da neofita, riscontro questo: la notazione che si usa per i limiti mi sembra un po' soggetta a errori. Il caso della progressione geometrica $1^n$ è un esempio: so benissimo che fa 1, anche se rientrerebbe nel caso $1^\infty$. Perché? perché quell'1 è esattamente 1, definitivamente, quindi posso elevarlo a un $n$ qualsiasi e ottenere sempre 1. Mentre invece prendiamo questo limite notevole:

\[ \lim_{n \to \infty}(1+\frac{1}{n})^n=e \]

Qui avrei comunque $1^\infty$ (infatti provando a calcolare il limite otterrei $(1 + 0)^\infty=1^\infty$), ma l'1 che scrivo alla base "non è un vero 1", è una quantità che all'aumentare di $n$ diventa sempre più vicina ad 1 ma non sarà mai 1. Ovvio che, all'aumentare di $n$, mi troverò a elevare questa quantità molto vicina a uno a una potenza astronomica. Verso che risultato si avvicinerebbe? Boh.
Quindi mi sembra che oggi sui libri di testo abbiamo casi molto diversi scritti allo stesso modo. Forse sarebbe più utile (dico una scemenza, lo so) una notazione in cui i semplici numeri reali e i limiti di successioni costanti vengono indicati in un modo e i limiti di successioni convergenti che non diventino almeno definitivamente uguali al proprio limite in un altro. Ad esempio, se usassi un °davanti a un limite appartenente a questo secondo caso, potrei avere:

\[ \lim_{n \to \infty}1^n =1^\infty=1 \]
(che smetterebbe di essere considerata una forma indeterminata)

\[ \lim_{n \to \infty}(1+\frac{1}{n})^n=(1+°0)^n=(°1)^n=°1^\infty \]
($°1^n$ è la vera forma indeterminata.)

Forse guadagnerei anche la possibilità di calcolare i limiti nelle varie parti di un'espressione solo quando mi serve (come nel secondo esempio), e non tutte insieme per evitare errori.

Purtroppo, Fermat, Leibniz e tutti gli altri sono morti e non posso sottoporgli l'idea.

[Obidream]

Giusto per curiosità, tu come risolveresti questo limite?

$lim_(n->+oo) n^3sin(1/n)-n^2$

[axpgn]

Vedo che il mio messaggio non è stato colto ... continui a fare confusione (a mio parere) ...
La notazione riguardante i limiti è chiara, quello che non ti è chiaro è che scritture come $1^(infty), infty-infty, 0/0, ...$ NON sono "notazioni dei limiti", non sono limiti affatto; sono semplicemente etichette per rappresentare "velocemente" delle situazioni riguardanti i limiti. Chiaro?
Riprovo a spiegare: quando devi calcolare un limite, generalmente, la prima cosa che si fa è sostituire il valore a cui tende la variabile dentro l'espressione di cui si vuole calcolare il limite; se quest'operazione è conclusiva, bene, altrimenti abbiamo una "forma indeterminata" che indichiamo con una di quelle "sigle" citate precedentemente. Ok?
Per esempio se vogliamo calcolare $lim_(x->1) x^3-2x+2$, in prima battutta sostituiamo la $x$ nell'espressione con $1$ ed otteniamo $1$ come risultato ed è finita qui.
Invece se avessimo $lim_(n->infty) 1^n$, sostituendo non otteniamo un valore reale ma una situazione indefinita che, per comodità, identifichiamo con $1^(infty)$ (che non è un'espressione ma una sigla).
Questo ci dice che dobbiamo usare altre tecniche per la risoluzione, in questo caso basta riflettere e notare che la base è sempre un "vero" $1$ quindi, qualsiasi sia l'esponente, il valore della potenza varrà sempre $1$. Risolto.

Cordialmente, Alex

[Indrjo Dedej]

Indrjo Dedej (come tutti i "duri e puri") vorrebbe che si usasse sempre la formalità però a me vien sorridere quando dice che le forme indeterminate "creano confusione" negli studenti mentre sarebbe meglio "far sanguinare" la loro testa (dimenticando sempre che la stragrande maggioranza degli studenti non sa che farsene della definizione di limite)

Perché sorridere? Certo che l'insegnamento delle fantomtiche forme indeterminate crea confusione, pari a quella che hai riscontrato in questa ed altre discussioni. Tu e io sappiamo che le forme indeterminate sono semplici sigle che non significano nulla a livello del calcolo. Però nella testa dello studente già il concetto di limite è indigesto, poi si vede queste scritture e fa calcoli con $\infty$ a destra e manca, con la spensieratezza con cui respira.
Trovo più sensato far faticare prima gli allievi con la definizione di limite. Si fatica una volta e poi ci prendi la mano. La maggior parte degli studenti non sa che farsene della definizione di limite? Male. È un fatto che ho ben presente, e mi sento male per il fatto che accada ciò.

Quando calcoli un limite, in prima battuta sostituisci la variabile con il valore a cui tende e se non ne viene fuori niente si parla di forma indeterminata e si usa una sigla per identifcarla (sempre per comodità); si passa quindi ad altre tecniche risolutive.

E vorrei evitare per quanto possibile che qualcuno veda i limiti in questo modo.