Disequazioni di secondo grado

[HowardRoark]

'RAPPRESENTA I PUNTI DEL PIANO CORRISPONDENTI ALLE SOLUZIONI DELLA SEGUENTE DISEQUAZIONE: $|x^2 + y^2 +4x| < 3$.


1) Mi studio il segno del valore assoluto:

$|x^2+y^2+4x| = x^2 + y^2 + 4x$ se $x<=-2-sqrt(4-y^2)$ o $x>= -2 + sqrt(4-y^2)$.

$ |x^2 + y^2 +4x| = -x^2 -y^2 - 4x|$ se $-2-sqrt(4-y^2) < x < -2 + sqrt(4-y^2)$.


2) Risolvo i sistemi nel caso in cui si ha $x^2 + y^2 + 4x >=0$.

a) PRIMO SISTEMA

$x^2 + 4x +4 <= 4 - y^2$
$x<= -2$
$x^2 + y^2 + 4x<3$

$(x+2)^2 + y^2 <= 4$
$x<=-2$
$-2<=y<=2$
$(x+2)^2 + y^2 < 7$

Graficamente i punti le cui coordinate soddisfano il sistema sono quelli interni alla circonferenza $x^2 + y^2 + 4x$ con ascissa $x<= -2$.


b) SECONDO SISTEMA

$ x^2 + 4x + 4 >= 4 - y^2$
$x>=-2$
$x^2+y^2+4x<3$

$ (x+2)^2 + y^2 >= 4$
$ x>= -2$
$ - 2<=y<=2$.
$(x+2)^2 + y^2 < 7$

Graficamente i punti le cui coordinate soddisfano il sistema sono quelli esterni alla circonferenza (perché devono avere distanza dal centro maggiore del raggio), con $x>= -2$, ma con distanza dal centro minore di $sqrt(7)$, che sarebbe il raggio della circonferenza $(x+2)^2 + y^2 < 7$.

3) Risolvo il sistema nel caso in cui $x^2 + y^2 + 4x < 0$.

$x^2+y^2+4x > -3$
$-2-sqrt(4-y^2) < x < -2 + sqrt(4 - y^2)$
$-2 <= y <= 2$.

Qui ho qualche dubbio; credo comunque che i punti che risolvano il sistema siano quelli interni alla circonferenza con ascissa $-2<x<0$.


Potreste darmi pareri sul mio procedimento, dato che è molto probabile che abbia commesso degli errori?

[anto_zoolander]

Ciao!

A me il procedimento usato non piace proprio. Il motivo per cui dico questo è dato dal fatto che usi il metodo grafico soltanto dopo. Ti sei incaponito su calcoli lunghi che comunque fanno passare un po' il piacere di guardarli.
Purtroppo ho poco tempo e preferisco usare questo tempo per mostrarti una via molto più corta.

$|x^2+y^2+4x|<3 <=> -3<x^2+y^2+4x<3 <=> 1<(x+2)^2+y^2<7$

a questo punto ti renderai conto che le soluzioni sono i punti della corona circolare formata dall'intersezione dell'interno di un disco e dell'esterno di un altro.

[HowardRoark]

$-3<x^2+y^2+4x<3 <=> 1<(x+2)^2+y^2<7$

Non ho capito questo passaggio: come hai fatto a passare da $-3<x^2+y^2+4x<3$ a $1<(x+2)^2 +y^2<7$

[anto_zoolander]

ho sommato $4$ a tutti i membri

[HowardRoark]

è vero .

Quindi, se ho capito bene, le soluzioni sono i punti interni alla circonferenza $(x+2)^2 + y^2 = 7$ con ascissa $|x|$ maggiore di $|1|$?

[anto_zoolander]

Nope, sono tutti i punti $(x,y) in RR^2$ tali che

$(x+2)^2+y^2<7$ e $(x+2)^2+y^2>1$

perchè escludi i punti per ascisse minori o uguali ad uno? non ci sono soluzioni lì.

prova a scrivere su desmos la disequazione $|x^2+y^2+4x|<3$ e le altre due: $(x+2)^2+y^2<7$ e $(x+2)^2+y^2>1$

[HowardRoark]

Sì, scusa, mi sono espresso male: intendevo dire che le soluzioni fossero tutti i punti con distanza dal centro maggiore di 1.

[anto_zoolander]

Si, detta così sì.
Sono due circonferenze concentriche, quindi dire:

'tutti i punti interni alla circonferenza $(x+2)^2+y^2=7$'

equivale alla traduzione in matematichese come

$A={(x,y) in RR^2 : (x+2)^2+y^2<7}$

ed è corretto.

'che hanno distanza dal centro maggiore di $1$

equivale a, essendo il centro $C=(2,0)$

$ B={(x,y) in RR^2: sqrt((x+2)^2+y^2)>1}$

quel 'che' indica $AcapB$ e infatti è la soluzione dell'esercizio che per via grafica riporta la corona circolare detta sopra.

[HowardRoark]

Perfetto, grazie mille!

Ora mi sono reso anche conto di aver fatto un po' un casino con i calcoli. Cercherò di risolverlo anche col mio metodo iniziale, perché comunque non era sbagliato in linea di principio.

[anto_zoolander]

Ovviamente sbagliato non è.
Solo che perverresti alla stessa soluzione ma con almeno mezza pagina se non una intera in più