Problema con geometria anlitica nello spazio

[ZfreS]

Ho questo problema: verifica che le rette $r: x=(3-y)/4=(z-1)/3$ e $s: x-2=(y-1)/2=-z/4$ sono incidenti e determina l'ampiezza di uno dei due angoli che individuano.
Ho verificato che effettivamente sono incidenti ma non sono perpendicolari bensì sghembe. Riguardo però al trovare un angolo che individuano ho difficoltà. Innanzitutto l'angolo tra esse compreso? Nel libro non ci sono formule a riguardo. Potreste aiutarmi per favore?

[anto_zoolander]

Come possono essere sghembe se sono incidenti(?)

[mgrau]

Riguardo all'angolo ti posso dare un suggerimento un po' vago. Se riesci a rappresentare due vettori $vec u$ e $vec v$ con le direzioni delle due rette, puoi esprimere il loro prodotto scalare mediante le loro componenti, $u_xv_x + u_yv_y * u_zv_z$ ma anche come $abs(vec u) * abs(vec v) cos theta$
Per favore, non chiedermi dettagli...

[ZfreS]

Mi sono sbagliato, non volevo scrivere sghembe, ma la questione è un'altra.

[ZfreS]

Il fatto è che l'esercizio nella soluzione presenta un'arcotangente, da dove salta fuori?

[ZfreS]

Potreste chiarirmi su come trovare l'angolo?

[mgrau]

Ti anticipo che non conosco nessuna formula che faccia al caso, e non è il mio campo. Se proprio, con una pistola alla tempia, dovessi risolvere questo problema, io tenterei questa strada: proverei intanto a trovare i versori associati alle rette.
Eliminando i termini noti, che corrispondono a una traslazione, che non interessa, abbiamo, per la prima retta
$x = -1/4y = 1/3z$, per cui direi che un vettore di componenti $x=1$, $y=-4$, $z=3$ ha la direzione della retta.
(questo è il passo di cui sono meno sicuro...)
Il modulo di questo è $sqrt(1^2+4^2+3^2) = sqrt(26)$, per cui il versore cercato ha componenti $1/sqrt(26), -4/sqrt(26), 3/sqrt(26)$
Analogamente per l'altra retta.
Troviamo prodotto scalare dei due versori, $u_xv_x+u_yv_y+u_zv_z$, e dato che questo è anche il prodotto dei moduli (1) per il coseno dell'angolo, otteniamo che $u_xv_x+u_yv_y+u_zv_z = cos(theta)$
Purtroppo non ci sono arcotangenti, peccato...

[ZfreS]

Veramente mi sono sbagliato con un'altro esercizio, il risultato viene giusto, quel che non capisco è da dove si tira fuori il versore associato alla retta, che nel libro nella teoria non compare. In particolare non capisco perchè si divide la componente del vettore per il suo modulo.

[@melia]

Un versore è un vettore di modulo 1. Da qui la divisione.

[ZfreS]

Ah, ok, ho capito, grazie mille.