Domanda goniometria

[HowardRoark]

Devo rappresentare sul piano questa funzione: $y= sin(pi + x) + sin (pi/2 -x)$

$sin(pi + x) + sin(pi/2 -x) = -sin x + cos x$.

Quindi la funzione di sopra corrisponde a $y= sqrt(2)sin(x + alpha)$.

Ora, per determinare $alpha$ ho considerato l'arcotangente (la tangente è uguale a -1). Ho pensato a questo: l'arcotangente vale $-pi/4$, però dall'equazione deduco che è il coseno ad esser negativo e il seno positivo. L'arcotangente ovviamente nn può valere $3/4 pi$ dato che l'angolo non appartiene al suo dominio, però, rappresentando l'angolo $-pi/4$, do un'informazione che contrasta con quella che ho dedotto dal problema.

[Brancaleone]

Devo rappresentare sul piano questa funzione: $y= sin(pi + x) + sin (pi/2 -x)$

$sin(pi + x) + sin(pi/2 -x) = -sin x + cos x$.

Fermati qui: senza introdurre $alpha$, quanto vale $y$?

[HowardRoark]

Sarei tentato di rispondere così: $y= -sinx + cosx$...

[Brancaleone]

Esatto! Basta fare lo studio di questa funzione

[HowardRoark]

Infatti io volevo ricondurre $y= -six +cos x$ ad un'espressione del tipo $y= rsin(x + alpha)$: quest'ultima forma esplicita le trasformazioni geometriche subìte da una funzione del tipo $y=sin x$, quindi non avrei problemi a rappresentarla.
Con questo metodo però sono incappato nell'inconveniente di sopra...

[Brancaleone]

Mah a me sembra un volersi complicare la vita, ma incontriamoci a metà strada. Sai che esplicitata in quella maniera, la funzione ha sicuramente andamento sinusoidale. Il problema a 'sto punto è capire ampiezza (=max e min) e lunghezza dell'onda.

Dato che $y=cosx-sinx$, si intuisce che $y$ sarà massima (minima) laddove entrambi i termini sono uguali e positivi (negativi). Avendo in mente la circonferenza di raggio unitario centrata sull'origine del piano cartesiano, ciò si verifica nel secondo e quarto quadrante (poiché il seno è di segno negativo). Per essere di pari valore, l'angolo deve valere $3/4 pi$ (che corrisponde al punto di minimo) oppure $-pi/4$ (che corrisponde al punto di massimo). Basterebbe ora per maggior precisione calcolare quanto vale la funzione nei punti $0$, $pi/2$, $pi$ e $3/2 pi$ per tracciarla sul piano

[HowardRoark]

Il tuo svolgimento in effetti mi sembra più immediato. Quindi si deduce che i punti di massimo e di minimo sono $+-sqrt(2)$.

Io però ci terrei a rappresentarla nella forma $y= rsin(x + alpha)$, perché non riesco ad arrivare all'espressione esatta

La funzione ha equazione: $y= -sqrt(2)sin (x + alpha)$. A me viene $y= sqrt(2)sin (x + alpha)$.

$y= -sinx + cosx = asinx + bcosx$. $a=-1$, $b=1$

$r= sqrt(a^2 + b^2) = +-sqrt(2)$.

In questo caso devo prendere il valore negativo di $r$, cioè $-sqrt(2)$. Perché?

[Brancaleone]

La formula da impiegare in realtà è

$a cosx - b sinx = r cos(x+alpha)$

dove $alpha = tan^-1 (b/a) = pi/4$ e dove $r$ è sempre positiva - nel nostro caso: $r=sqrt(a^2+b^2)=sqrt(2)$.

Perciò

$y=cosx-sinx=sqrt(2)cos(x+pi/4)$

[HowardRoark]

Scusa se ti tedio...come mai hai preso come formula $r cos(x + alpha)$?

In base a cosa hai scelto di applicare $r cos (x+ alpha)$ anziché $r sin (x+ alpha)$?

Scusa, ma sono argomenti nuovi per me, e li vorrei capire per bene

EDIT: difatti il mio libro spiega solo come passare da una funzione del tipo $y=asinx + b cosx$ ad una nella forma $y= r sin (x + alpha)$...

Inoltre è proprio su questo punto che nasce il mio dubbio iniziale.

Io avevo fatto questo procedimento: $y= asinx + bcosx => y= -sinx + cosx. => y= rsin (x + alpha)$.

Avevo quindi dedotto, con la formula di addizione del seno, che:

$rcos (alpha) = a = -1$
$rsin (alpha) = b = 1$.

Poiché $r$ è sempre positivo, avevo concluso che il coseno dovesse essere negativo; ma ciò non è possibile, perché $arctan(-1) = -pi/4$ e $- pi/4$ ha il coseno positivo.

Insomma, ho le idee un po' confuse

EDITO ANCORA: continuando col mio ragionamento, concludo che $alpha = 3/4 pi$ e quindi la funzione la posso scrivere come $y=sqrt(2) sin (x + (3/4)pi)$.Da qui poi posso arrivare alla tua soluzione, semplicemente considerando che i grafici di seno e coseno sono sovrapponibili con una traslazione di vettore parallelo all'asse $x$ e modulo $pi/2$

Le follie che ho scritto le lascio comunque: quello che mi interessa non è l'esercizio in sé, ma una buona comprensione degli argomenti che sto trattando.

[orsoulx]

La formula da impiegare in realtà è...

Preferirei: "una formula da impiegare può essere.."
Ciao