Calcolo di limite forma indeterminata

[axpgn]

Poniamo che sia $(f(x))/(g(x))=k$ allora $(g(x))/(f(x))=1/k$
Affinché sia $(f(x))/(g(x))=(g(x))/(f(x))$ deve essere $k=1/k$ cioè $k^2=1$ da cui $k=+-1$

In definitiva uguagliando la frazione al suo reciproco assumi implicitamente che valga $1$ (o $-1$)

Cordialmente, Alex

[Alexandros543]

In genere non puoi perchè $ln(e^2(e^x/e^2-1))=2+ln(e^(x-2)-1)$ e non puoi usare le equivalenze asintotiche in una somma. La questione è un po' sottile, se ti interessa ti spiego il motivo, ma in genere le equivalenze si usano per prodotti e non somme, perchè c'è un pezzettino che rimane ma di cui non ne conosci l'esistenza ancora

Sì, mi interesserebbe. Grazie

Poniamo che sia $(f(x))/(g(x))=k$ allora $(g(x))/(f(x))=1/k$
Affinché sia $(f(x))/(g(x))=(g(x))/(f(x))$ deve essere $k=1/k$ cioè $k^2=1$ da cui $k=+-1$

In definitiva uguagliando la frazione al suo reciproco assumi implicitamente che valga $1$ (o $-1$)

Cordialmente, Alex

Ma io non l'ho uguagliata al reciproco del reciproco, cioè a se stessa?

[axpgn]

Hai ragione, l'hai invertita due volte
Sì, il problema è quello evidenziato da anto, usare le equivalenze asintotiche in una somma non funziona bene

Cordialmente, Alex

[anto_zoolander]

diciamo che ti porti un po' dietro i fantasmi, nelle somme

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Quando andrai avanti, vedrai il concetto di 'o piccolo'. In poche parole due funzioni asintoticamente equivalenti si possono scrivere come

$f(x)=g(x)+o(g(x))$ vicino ad un certo punto

dove $o(g(x))$ è una quantità che si annulla con ordine maggiore rispetto a $g(x)$: questo significa che è una quantità che tende a zero più velocemente, ossia $(o(g))/g->0$

Di fatto $f/g=1+(o(g))/g$ ed essendo $o(g)$ un infinitesimo, spunta che $f/g->1$

Ora nei prodotti non c'è problema, perchè se avessimo $h*f$ con $f/g->1$ potresti considerare

$h*f=(h*g)*(f/g)$ dove $f/g->1$

e qualora il limite di $h*g$ esistesse, per il teorema sul prodotto dei limiti $h*f$ e $h*g$ tendono allo stesso limite.

Nelle somme invece questo resto te lo porti a presso perchè ti rimarrebbe qualcosa del genere

$h+f=h+[g+o(g)]=[h+g]+o(g)=[h+g]+o(g)$

nei prodotti hai la possibilità di raccogliere tranquillamente, quindi te lo levi dalle scatole

$h*f=h*(g+o(g))=(h*g)*[1+(o(g))/g]$

infatti dipende solo dal limite $h*g$ in questo caso

ripeto: leggilo per sport, sono cose che vedrai avanti(se vai ancora al liceo)

[Alexandros543]

Un ultimo dubbio: se facessi prima il ribaltamento? Così avrei la forma limite + limite + limite (il terzo sarebbe quello cui applicare il limite notevole)
Cioè, il problema evidenziato da @anto_zoolander persisterebbe anche qualora riuscissi a trasformare quel limite in una somma di limiti?
$\frac{1}{lim_{x\to2^{+}}\frac{ln[e^2(x-2)\frac{e^{x-2}-1}{x-2}]}{ln(x-2)}}=\frac{1}{lim_{x\to2^{+}}(\frac{2}{ln(x-2)}+\frac{ln(x-2)}{ln(x-2)}+\frac{\frac{e^{x-2}-1}{x-2}}{ln(x-2)})}$
ovvero il reciproco di una somma di limiti (e nel terzo c'è un prodotto)
@anto_zoolander: sono all'uni, quindi credo che tra un po' lo faremo (Analisi 1)

[anto_zoolander]

però per spezzare un limite in una somma, devi sapere se i limiti che spezzi esistono

[Alexandros543]

Grazie mille

[Zero87]

Io comunque non ci sarei mai arrivato e mi è venuto in mente di usare solamente l'Hopital... siete fantastici.