Esercizio con limite

[ZfreS]

Ho questo limite: $lim_(x->0)((e^(2x)-1)/sinx)$
Ho cercato di ottenere i limiti notevoli: $lim_(x->0)((e^x-1)/x)$ e $lim_(x->0)(sinx/x)$
Il fatto è che non capisco come portare quel $(e^(2x)-1)$ a $(e^x-1)/x$
Potreste aiutarmi per favore?

[Summerwind78]

Ciao

stavo pensando di non usare i limiti notevoli.


hai il numeratore e il denominatore che sono due funzioni continue e derivabili, quindi è applicabile il teorema di de l'Hopital

quindi il tuo limite diventa

$lim_(x->0) ( (e^(2x) - 1 ) / sin x) = lim_(x->0) ( 2e^(2x) / cos x)$

calcolando questo nuovo limite abbiamo

$lim_(x->0) ( 2e^(2x) / cos x) = 2 lim_(x->0) ( e^(2x) / cos x) = 2 \cdot (e^(2\cdot 0)/ (cos 0)) = 2 \cdot (e^0/ 1) = 2\cdot 1/1 = 2$


Che ne dici?

[ZfreS]

Non ho ancora fatto le derivate e il teorema di De l'Hopital, quindi meglio risolverlo co i metodi classici sui limiti.

[Alexandros543]

Così?
$lim_(x->0)((e^(2x)-1)/sinx)=lim_(x->0)(2(e^(2x)-1)/frac{2xsinx}{x})$

[ZfreS]

Può darsi, ma forse ho trovato il modo: $lim_(x->0)((e^(2x)-1)/sinx)$
$lim_(x->0)((2x(e^(2x)-1)/(2x))/sinx)$
$lim_(x->0)(2x/sinx*x/x)$
$lim_(x->0)(2x/x*x/sinx)$
$lim_(x->0)(2x/x)=2$

Il risultato è corretto, poi ditemi se è giusto il procedimento perchè non sono sicuro di quello.

[Alexandros543]

Credo che siano corretti entrambi i metodi: io ho moltiplicato e diviso per $2$ al numeratore e poi per $x$ al denominatore, in modo da avere il limite $sinx/x$, mentre tu hai moltiplicato e diviso direttamente per $2x$ e credo che tu possa fermarti là, perché per il teorema del limite del reciproco, $lim_{x\to0}\frac{x}{sinx}=1$, evitando di moltiplicare e dividere nuovamente per $x$
L'importante è moltiplicare e dividere per $2x$ per ricondursi ai due limiti notevoli

[ZfreS]

Bene, allora penso che il problema sia risolto, grazie tante per l'aiuto!