Limite con equivalenze asintotiche

[orsoulx]

Scusate se intervengo, ma mi pare che la discussione sia viziata da un paio di errori iniziali.
$ lim_(x->0)(1-cosx^2+2sinx)/(e^(2x)-1) \ne lim_(x->0)(x^2/2+2x)/x $, perché dovrebbe essere
\( 1-cos x^2 \sim \frac {x^4} 2 \) e \( e^{2x}-1 \sim 2x \) in quanto
$ lim_(x->0) (1-cos x^2)/x^4= 1/2 $ e $ lim_(x->0) (e^(2x)-1)/x=2 $
Ciao

[axpgn]

Quindi tu interpreti quella scrittura come $x^2$ e non come $cos^2$; lo so che sarebbe un'interpretazione corretta ma vorrei avere una conferma da lui

[axpgn]

Se così fosse allora potrebbe andare in questo modo

$ lim_(x->0) (1-cosx^2+2sinx)/(e^(2x)-1)$

$ lim_(x->0) (2x)/(e^(2x)-1)*(1-cosx^2+2sinx)/(2x)$

$ lim_(x->0) (2x)/(e^(2x)-1)*x^4/(2x)*[(1-cosx^2)/x^4+(2sinx)/(x^4)]$

$ lim_(x->0) (2x)/(e^(2x)-1)*[x^3*(1-cosx^2)/x^4+sinx/x]=1$

Che ne dite?

Cordialmente, Alex

[orsoulx]

Beh! Se fosse $ cos^2 x $ l'approssimazione asintotica iniziale sarebbe comunque sbagliata visto che $ 1-cos^2 x=sen^2 x $.
Il limite non cambierebbe.
Ciao

[ZfreS]

Il testo giusto è $1-cosx^2$ e non $1-cos^2x$

[axpgn]

E quindi va bene il mio ultimo post ...

[ZfreS]

Non capiscouna cosa nell'ultimo passaggio: $x^4/(2x)$ diventa $x^3/2$, ma il due si semplifica con il $(2sinx)/x$ ma dove finisce quando si moltiplica $x^3/2$ per $(1-cosx^2)/x^4$ ?

[axpgn]

Me lo sono perso ma non conta niente dato che $x^3/2$ va a zero ...

[ZfreS]

Perfetto! Però la tua soluzione è adatta ad applicare i limiti notevoli, mentre avrei dovuto sostituire con valori asintoticamente equivalenti. Comunque mi sembra che quella che chiedo sia la risposta di orsoulx. In ogni caso grazie tante per i passaggi e le spiegazioni!

[axpgn]

Ma sono la stessa cosa …