Esercizio con limite notevole

[ZfreS]

Ho questo limite: $lim_(x->+infty)((1-2/x)^x)$
Ho pensato di utilizzare il limite notevole $lim_(x->+infty)((1+1/x)^x)$
Per poterlo fare devo sostituire $-2/x$ con $y$, però così facendo sbaglio perchè viene: $lim_(y->+infty)((1+1/y)^y)$
Potreste farmi capire dove sbaglio?

[Alexandros543]

Se vuoi fare la sostituzione devi sostituire $y=-x/2\impliesx=-2y$ e ottieni che per $x\to+infty$ si ha $y\to-infty$ e quindi applichi il limite notevole di $e$

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

$lim_(x->+infty)(1-2/x)^x=lim_(x->+infty)((1+\frac{1}{-x/2})^-\frac{x}{2})^{-2}=e^{-2}$

[ZfreS]

Quindi sarebbe come: $lim_(y->-infty)(1+1/y)^y$
Però perchè si usa il cambio di variabile se con la $y$ si ottiene semplicemente $1$ ?
Bosognerebbe ritornare alla x pe avere il vero risultato o no?

[Alexandros543]

No, quando cambi variabile l'esponente $x$ diventa $-2y$
(infatti abbiamo detto che $y=-\frac{x}{2}$, da cui $x=-2y$)

[ZfreS]

Ok $x=-2y$, ma detto questo dovremmo scrivere: $lim_(y->-infty)((1-2/(-2y))^(-2y))$
e quindi $lim_(y->-infty)((1/y)^-2y)$
Ora si può concludere l'esercizio o bisogna risostituire $y=-x/2$
Lo chiedo perchè in certi esercizi una volta che si cambiava variabile l'esercizio finiva usando quella variabile, non si tornava a quella vecchia.

[Alexandros543]

$lim_(x->infty)(1-2/x)^x=lim_(y->-infty)(1+\frac{1}{y})^{-2y}=lim_(y->-infty)((1+\frac{1}{y})^{y})^{-2}=e^{-2}$
Non si torna indietro perché qui vuoi calcolare il limite. In genere si torna indietro per calcolare quanto vale $x$

[ZfreS]

Ecco, proprio questo volevo visualizzare, grazie mille per l'aiuto!