Integrali di funzioni fratte

[User239]

La traccia è la seguente: $int (x^2+1)/(2x-1) dx$ ; applico la regola per cui $ int (N(x))/(D(x))=int Q(x) dx+ int (R(x))/(D(x)) dx $

Se non sbaglio nei calcoli........ il quoziente $Q(x)$ è $X/2-1/4$ mentre il resto $R(x)$ è $5/4$ ; fino a qui come procede?

[@melia]

Il resto è corretto, il quoziente ha segno positivo.$ Q(x) =x/2+1/4 $ e $ R(x) =5/4$ prosegui così
$int (x^2+1)/(2x-1) dx = int(x/2+1/4)dx + 5/4int1/(2x-1) dx$ il primo è l'integrale di un polinomio, il secondo porta ad un logaritmo.

[User239]

Non capisco perchè sia $X/4+1/4 $ e non $X/4-1/4 $

$ 5/4 int 1/(2x-1)$ lo riscrivo come $int (f(x)')/(f(x))$ e quindi $5/4 int 1/(2x-1) rArr 5/4 * ln|2x-1|$

Giusto?

[Zero87]

Non capisco perchè sia $X/4+1/4 $ e non $X/4-1/4 $

Vediamo, non sono un drago nei calcoli ma mi metto in mezzo...
$(x^2+1)/(2x-1) = 1/2 \cdot \frac{2x^2+2}{2x-1} = 1/2 \cdot \frac{2x^2-x+x+2}{2x-1}= x/2 +1/2 \cdot 1/2\frac{2x+4}{2x-1} = x/2+1/4 \cdot \frac{2x-1+5}{2x-1} = x/2 + 1/4 + 5/4 \cdot \frac{1}{2x-1}$

Mi viene come @melia.

[@melia]

Non capisco perchè sia $ X/4+1/4 $ e non $ X/4-1/4 $

Risolverlo è una cosa, ma rendersi conto dell'errore è molto più semplice, basta rimoltiplicare:
$x/2+1/4+(5/4)/(2x-1)=(2x+1)/4+5/(4(2x-1))=(4x^2-1+5)/(4(2x-1))=(4(x^2+1))/(4(2x-1))=(x^2+1)/(2x-1)$

$ 5/4 int 1/(2x-1) $ lo riscrivo come $ int (f(x)')/(f(x)) $ e quindi $ 5/4 int 1/(2x-1) rArr 5/4 * ln|2x-1| $
Giusto?

Non è giusto. Intanto vorrei, nei limiti del possibile, che usassi una forma adeguata, gli $=$ dove servono, i $dx$ negli integrali, ...
Poi c'è un altro errore. Dici di usare la forma $ int (f(x)')/(f(x)) dx$ , ma nei calcoli io non vedo $f'(x)$ che nel caso specifico vale $2$. Quindi $ 5/4 int 1/(2x-1) dx= 5/4*1/2 int 2/(2x-1) dx=5/8ln|2x-1| +c$
Poi, per vedere se un integrale è corretto basta fare la derivata!

[User239]

Oh si, pasticcio ancora un po' . Grazie mille ad entrambi per l'aiuto