Dimostrazione con i vettori

[axpgn]

@Bokonon

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Il vantaggio di parlare di matematica è che non è un'opinione

Non è vero dipende dalle definizioni che dai ovvero la Matematica è un gioco, un gioco che ha delle regole; se cambi le regole, giochi in modi diverso (penso al postulato delle parallele e a quante Geometrie arrivi senza )

Non ho guardato il problema, né lo guarderò perché, a parte il fatto che c'avrei capito poco ( ), non è quello l'argomento del mio discorso.
Io non contesto il fatto che la tua "soluzione" sia più diretta e meno arzigogolata di quella di Marco ma solo che sia il modo "giusto" di fare le cose.

Anche tu sei legato mentalmente alle definizioni che hai imparato, ammettilo.

Per niente (anche perché non li ho mai studiati e quel che so, lo so solo per letture "amatoriali" ).

Ma quelli sono spazi e vettori mooooolto specifici,

Anche qui: per niente, anzi penso la struttura "spazio vettoriale" nel modo più "generico" possibile (per esempio vedi qui e cerca la voce "crazy vector space")

In generale, la geometria sta sopra tutto. Oggi praticamente partono dalla topologia per definire davvero tutti i concetti nel modo più generale possibile

Io comprendo benissimo il tuo modo di vedere (e approcciare) le cose, e non solo, probabilmente sono anche d'accordo con te che molto spesso (forse troppo) si usa il cannone per ammazzare le mosche invece di una semplice paletta.
Ma al tempo stesso trovo normale che la Matematica (oggigiorno) si muova in direzione di una sempre maggiore "generalizzazione" e "astrazione", slegandosi anche, se necessario, da legami "antichi".
Io non vedo questi due aspetti in antitesi, anzi … l'importante, invece, è che poi non nascano "guerre ideologiche" tra le due "fazioni" (estremizzo, eh ) che generano solo "sterili" lunghe inutili discussioni (come già visto anche in questi luoghi).

Cordialmente, Alex

[marco2132k]

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Non sono cattivo!

Figurati, mi piace argomentare (e la geometria)

Capisco che tu voglia argomentare, ma arrivare a rivoluzionare la matematica dicendo che il coseno è definito dai vettori e non dalla geometria è un po' troppo, non ti pare?

L'ordine è appunto geometria-->resto e non viceversa. Ed è incredibile che tu lo abbia dimenticato.

Non c'è alcun ordine se non una cronologia che puoi trovare sui libri di storia, dove la geometria, come le altre attività umane, passa momenti differenti.

Alla base della geometria può esserci il concetto di spazio lineare (o meglio, di gruppo di trasformazioni): capovolgiamo il punto di vista prendendo come assiomi alcune proprietà che in geometria sintetica (di Euclide - o di Hilbert) possono al contrario essere ricavate. Il motivo per fare questo, è un'impostazione che permette una definizione rigorosa di molti oggetti (come quella di misura di un angolo e di seno e coseno) a cui altrimenti sarebbe molto più difficile dare un senso, a meno di non voler procedere (come hai fatto tu e come fanno tutti i libri delle superiori [o semplicemente antichi]) mediante considerazioni che poggiano fortemente sull'intuitivo (ché dovresti dire cosa intendi quando parli di misura di un angolo, concetto non facile da definire in geometria sintetica, sicuramente meno della misura di un segmento).

Da Mac Lane, Birkhoff, Algebra, AMS, 1991:

Initially, a vector in three-space was given in terms of its components relative to a given system of axes, so a vector was described as a triple of numbers. Emphasis on the operation of vector addition and multiplication of a vector by a real number (a scalar) showed that the vectors could be better treated, independently of any choice of axes, as the elements of a real “vector space“ in which these operations are defined and are required to satisfy suitable axioms.

La definizione di vettore è geometrica: quelli di cui parli tu sono vettori applicati

Un "vettore applicato" è, per la geometria sintetica, un segmento su cui è data (non chiedermi come) una relazione d'ordine, assieme alla retta su cui questo giace e il suo "punto di origine". L'insieme delle classi di equivalenza rispetto all'equipollenza dei segmenti orientati è uno spazio vettoriale sul corpo reale, quando definisci tra queste classi la somma mediante la regola del parallelogramma e il prodotto per scalare in qualche modo simpatico.
Allora i "vettori geometrici" sono, come dici tu, particolari vettori. Evita di confondere il vettore geometrico (che è un ente concreto), con un vettore (anche di uno spazio vettoriale reale dove vi sia una norma): lo spazio \( \mathcal{F}\left[a,b\right] \) delle funzioni reali continue su \( \left[a,b\right] \) è uno spazio vettoriale rispetto alle usuali somma e prodotto tra funzioni di questo genere, però parlando di vettori, a struttura dimenticata non ci riferiamo più a segmenti. Dico che i vettori di OP per me avrebbero pure potuto essere di questo ultimo tipo: finché c'è una norma, le mie considerazioni valgono.

Ma quelli sono spazi e vettori mooooolto specifici, tant'è che appena lo studente prova a slegarsi dai quei concetti e imparare la geometria affine oppure quella descrittiva o infine quella proiettiva, allora apriti cielo!

Uno spazio affine non ha nulla a che vedere con la geometria sintetica, per quanto concerne la definizione: è il dato dell'azione di uno spazio vettoriale (come gruppo abeliano blah blah...), ossia di una struttura algebrica; poco importa cioè il sistema assiomatico della geometria classica, ciò che se ne può trarre da esso è solo impersonato o "emulato" in un setup rigoroso e più flessibile. (d'altronde la geometria euclidea [quella su spazi affini con tutte le caratteristiche di misura di angoli ecc.] è un caso particolarissimo della proiettiva, no? [1])

Ma sono certo che hai più chiare di me queste cose che scrivo per dimenticarmi che in realtà dovrei stare studiando. Se quello che intendi invece è sulla falsariga del Mathematics is a part of physics, e che complicare non ha senso (ad esempio in Fisica: il tuo approccio è condiviso in quella materia [almeno a livello base come la conosco io]; tanto), non sono in disaccordo con quelle affermazioni. Diverso è però dire che l'algebra lineare degli spazi euclidei sia dipendente dalla geometria sintetica: questo non trovo abbia senso.

[1] https://it.wikipedia.org/wiki/Programma_di_Erlangen

[Bokonon]

Lo scambio di opinioni è come sempre interessante.
Le posizioni sono chiare e fondamentalmente rispecchiano anche un dibattito in corso su come insegnare l'algebra lineare.
Stando qua ho avuto l'occasione di vedere citati alcuni libri mentre altri matematici li ho conosciuti "online".
Dando un'occhiata a libri e video, sta diventando sempre più comune l'approccio generale, piuttosto che quello specifico.
Esempi, il libro di Sheldon Axler "Linear Algebra Done Right" (consigliato e giustamente da qualcuno qua sul forum) lo dice chiaro e tondo nella prefazione:

During their first brush with the subject, your students probably worked with Euclidean spaces and matrices. In contrast, this course will emphasize abstract vector spaces and linear maps. The audacious title of this book deserves an explanation. Almost all linear algebra books use determinants to prove that every linear operator on a finite-dimensional complex vector space has an eigenvalue. Determinants are difficult, nonintuitive, and often defined without motivation.

Stesso identico approccio hanno Gilbert Strang (che davvero non ha bisogno di presentazioni considerando tutti i grandi contributi che ha dato alla materia) e il suo allievo Pavel Grinfeld. Sostanzialmente provano ad insegnare prima il lato geometrico e generale e poi quello specifico...relegando i determinanti alla fine del corso.

Di certo quel poco che comprendo di algebra lineare non è certo grazie all'esame che diedi nel 1990/91 ma devo ad esso le basi per affrontare e comprenderla meglio seguendo appunto Strang (che obiettivamente richiede già una conoscenza di base per seguirlo....non a caso è la maggiore e unica critica che leggo nei suoi confronti dagli studenti). Francamente è proprio DOPO aver visto Strang in azione che mi sono innamorato della materia. Visto che insegnava entrambe le materie al MIT, chiedeva spesso agli studenti a lezione "Allora, preferite ancora il Calcolo all'Algebra Lineare?". La mia risposta è no.

[axpgn]

Visto che insegnava entrambe le materie al MIT, chiedeva spesso agli studenti a lezione "Allora, preferite ancora il Calcolo all'Algebra Lineare?". La mia risposta è no.

Vabbè ma mica gli ha chiesto se preferivano Analisi all'Algebra Lineare …

Cordialmente, Alex