Dimostrazione con i vettori

[HowardRoark]

Dimostra che il vettore $\vec c= a*\vec b + b *\vec a$ divide in due parti congruenti l'angolo formato dai vettori $\vec a$ e $\vec b$.

Il vettore somma di due vettori è la diagonale del parallelogramma che parte dal punto che condividono le code dei due vettori; questa diagonale divide in due parti congruenti l'angolo formato dai due vettori solo se il parallelogramma in questione è un rombo...

Ponendo $a$ e $b$ maggiori di zero, i vettori $\vec a$ e $\vec b$ hanno stessa direzione e stesso verso di $b*\vec a$ e $a*\vec b$, quindi è indifferente che si consideri l'angolo formato da questi vettori o l'angolo formato da $\vec a$ e $\vec b$.

Probabilmente non avrò capito bene il problema, perché dal mio punto di vista mi sembra palese che la tesi sia falsa.

Per completezza, posto anche un'immagine che descrive la situazione:

[SirDanielFortesque]

Scusa io non ho capito il testo. $a$ e $\bar(a)$ sono due cose diverse?

[HowardRoark]

$\vec a$ è il vettore, $a$ è il modulo del vettore...

[HowardRoark]

Aspetta: ho provato ragionando con i numeri.

Ponendo per es. $a=1,5$ e $b=3$ si ha che il modulo di $a* \vec b$ e $b* \vec a$ è 4,5, quindi il parallelogramma relativo è sempre un rombo

[Bokonon]

Se dividi entrambi i membri per $|a|*|b|$ vedi chiaramente che il vettore c la somma di due versori "riscalata", ovvero è la diagonale di un rombo di lato 1 moltiplicata per una costante.

[marco2132k]

Dimostra che

No calma; che vuol dire che quell'espressone \( c \) dei vettori¹ \( a \) e \( b \) "divide in parti congruenti" l'angolo \( \theta(a,b) \) che i vettori \( a \) e \( b \) formano, i.e. \( \theta(a,b)=\arccos\left( (a\cdot b)/\lVert a\rVert\lVert b\rVert \right) \)?

E' vero che se \( c \) è \( \lVert a\rVert b+\lVert b\rVert a \) allora l'angolo tra \( a \) e \( c \) è uguale all'angolo tra \( c \) e \( b \), ché
\[
\cos(\theta(a,c))=\frac{a\cdot c}{\lVert a \rVert\lVert c\rVert} = \frac{a\cdot \lVert a\rVert b+\lVert b\rVert a}{\lVert a \rVert\lVert \lVert a\rVert b+\lVert b\rVert a\rVert}=\dots
\]
e
\[
\cos(\theta(c,b))=\dots
\]
ovviamente sull'euclideo \(\mathbb{R}^n\), con prodotto \(-\cdot-\) e norma \( \lVert - \rVert \).

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Note

1. Non ho voglia di mettere le freccine. ↑

[HowardRoark]

Credo che la dimostrazione possa andare constatando semplicemente che per ogni valore di $a$ e di $b$ abbiamo a che fare con un rombo. Per il momento preferisco affrontare gli esercizi nel modo più elementare possibile, dato che ho tantissima mole da studiare ancora...

Discorso diverso è ovviamente se commetto errori: lì anzi vi esorto ad essere il più puntigliosi possibile

[SirDanielFortesque]

Vorresti dimostrarlo con la geometria sintetica? Con la geometria sintetica non saprei farlo. Solo come ha fatto Marco2132k

[HowardRoark]

Vorresti dimostrarlo con la geometria sintetica? Con la geometria sintetica non saprei farlo. Solo come ha fatto Marco2132k

Per ora mi basta constatarlo con degli esempi. Ho postato perché a me sembrava proprio falsa la proposizione.

[Bokonon]

Siete folli....