Capisco ciò che intendi, @Bokonon: volevo solo far notare a OP che l'angolo è definito come l'\( \arccos \) del prodotto tra il prodotto scalare e l'inverso del prodotto dei moduli: dividere per \( \lVert a\rVert\lVert b\rVert \) ha certo più stile, a patto di aver in precedenza dimostrato che in un rombo di lati \( a \) e \( b \) la bisettrice \( k(a+b) \), \( k\in\mathbb{R} \), ha la proprietà che vogliamo. Provare questo risultato più generale prima di svolgere questo esercizio (e si passa per la def. di angolo compreso tra \( a \) e \( b \)), e proseguire come hai fatto tu mi sembra carino.Bokonon ha scritto:Siete folli....
marco2132k ha scritto:@SirDanielFortesque Non credo che questa domanda riguardi la geometria "di Euclide", mi sembra una domanda prettamente di AL.
Non ho compreso, scusami @Bokonon.Bokonon ha scritto:La geometria viene prima delle formule che utilizziamo.
Non capisco cosa intendi: il teorema di Pitagora non dice altro che se \( v \) e \( w \) sono due vettori di uno spazio vettoriale reale rispetto ad un prodotto scalare \( \langle {-},{-}\rangle \), allora il modulo della somma ("ipotenusa") \( {\lVert v+w\rVert}^2 \) sarà pari alla somma \( {\lVert v\rVert}^2+{\lVert w\rVert}^2 \) dei moduli ("cateti"): non ha bisogno della nozione di "angolo" tra vettori per essere dimostrato, sono solo semplici conti e applicazione delle definizioni.Bokonon ha scritto:@marco2132
Sostanzialmente stai dicendo che dimostri il teorema di pitagora usando la formula
Ho precisato che tutto vale sullo spazio euclideo \( \mathbb{R}^n \), perché credo sia quello lo spazio dove l'utente che ha postato per primo lavora: tuttavia non ho utilizzato altre proprietà se non quelle di un prodotto scalare (su uno spazio reale). Da questo discende la validità per tutti i tipi di norme su spazi reali.Bokonon ha scritto:E la dimostrazione che ho dato è persino indipendente da un sistema di riferimento e dall'origine
OP parla di vettori (se non erro @HW è uno studente di ingegneria) quindi semplicemente non credo sia interessato a rette e segmenti intesi in modo "classico", ma all'algebra lineare, anche se ha postato nella sezione delle superiori.SirDanielFortesque ha scritto:Non ho capito come lo hai capito
Il punto è (credo che il fraintendimento con @Bokonon sia qui) che per due vettori \( v \), \( w \) di uno spazio (e intendo vettoriale, quando un discorso simile si può fare su spazi affini a cui ora nessuno è certamente interessato) reale, con prodotto scalare \( \langle {-},{-}\rangle \) (e norma \( \lVert {-}\rVert\colon{-}\mapsto\sqrt{\langle {-},{-}\rangle} \)), il coseno dell'angolo compreso tra questi due vettori è definito comeSirDanielFortesque ha scritto:Ci sarà pur un modo.
marco2132k ha scritto:La "geometria delle coordinate" delle superiori è un surrogato mal fatto, su base intuitiva, di queste definizioni, che si possono spiegare nella loro forma originale anche negli spazi affini; mischiare la geometria "intuitiva" di Euclide con l'algebra lineare e la geometria affine viene fatto spesso [in fisica ad esempio] con grande piacere; imho crea solo una grande confusione).
SirDanielFortesque ha scritto:il coseno dell'angolo compreso tra questi due vettori è definito come
\[
\cos\theta(v,w):=\frac{\langle v,w\rangle}{\lVert v\rVert\lVert w\rVert}
\]
axpgn ha scritto:Però la tua "richiesta" che questo sia il modo "giusto" (anzi l'unico modo "giusto") di vedere le cose, a mio parere è errata.
axpgn ha scritto:Come "controesempio" basti pensare, per esempio, ai vettori che non sono altro che gli elementi di uno spazio vettoriale
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