Equazione logaritmica

[universo]

Risolvere questa equazione logaritmica senza far il minimo comune multiplo:
\( \displaystyle 3 = \frac{14}{\log_{5}(x+2)} + \frac{4}{\log_{5}(x-1)} \)
Mi è capitata questa equazione logaritmica e non mi viene in mente come risolverla. Prima di ritirarmi, almeno vorrei vedere come eliminare i logaritmi al denominatore.

[marco2132k]

\( \exp_5 \) (?)

[universo]

\( \displaystyle \frac{14 \log_{5}(x-1) + 4\log_{5}(x+2) - 3\log{5}(x+2)\log_{5}(x-1)}{\log_{5}(x-1)\log_{5}(x+2)} = 0 \)
Una volta giunto a questo punto non so quale proprietà applicare per continuare. Il denominatore può essere ignorato dopo aver trovato le C.E., ma il prodotto di logaritmi al numeratore mi blocca. Dovrei usare gli esponenziali? E come?
PS: vorrei precisare che non è richiesto di risolvere l'equazione senza fare l'm.c.m però non riuscendo a fare diversamente mi ritrovo con questo prodotto di logaritmi.

[marco2132k]

Dovrei usare gli esponenziali?

Non so come tu gli abbia definiti, però \( \exp_a \), \( a\neq 1 \), è l'inversa del logaritmo in base \( a \): dalla proprietà \( \exp_a(x_1+x_2)=\dots \) ti dovrebbe venire in mente che...

[giammaria]

Mi pare che marco2132k abbia trovato la soluzione e lo prego di scriverla, dato che io riesco solo a pensare ad un errore di stampa.
Espongo i miei modestissimi risultati.
I due logaritmi esistono per $x>1$ ed in questo intervallo non si annullano se $x!=2$: abbiamo il CE.
In CE la prima frazione scende dal valore massimo $14/(log_5 3)=20.51$ a zero, quindi deve essere
$0<3-4/(log_5(x-1))<20.51$
e con calcoli non difficili ma lunghetti ne ricavo, salvo errori, $x<1.69 vv x>9.55$
Per continuare, direi che l'unica possibilità sia affidarsi ad un computer.

[marco2132k]

@giammaria Facio ben più schifo di te, è probabile che tu abbia ragione

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Dall'uguaglianza \[ 3=\frac{14}{\log_5(x+2)}+\frac{4}{\log_5(x+1)} \] per teoremi noti dovrebbe essere \[ \begin{split} 5^3 &= \exp_5\left(\log_5(x+2)\right)^{-14}\exp_5\left(\log_5(x+1)\right)^{-4}\\ &= \left(x+2\right)^{-14}\left(x+1\right)^{-14}(x+1)^{10} \end{split} \] e in effetti avrei dovuto fare i conti perché ora non mi ha poi così senso

EDIT: Corretto un errore di battitura.
EDIT 2: Basta andare a vedere il grafico per scoprire che questi calcoli sono scorretti.

[axpgn]

Wolfram Alpha e passa la paura … … a me invece quello che intriga è: o universo, da dove l'hai presa?

[universo]

È saltata fuori da un testo di terza superiore. Infatti penso che proprio di dovermi ritirare e fare scienze politiche o qualche altra scienza delle merende.

[SirDanielFortesque]

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.

Cambiare facoltà per un esercizio mi sembra un tantino eccessivo.

Ma che risultato mette il testo a questo esercizio, per curiosità?

[universo]

Il libro dice 1 oppure 5^5, mentre Wolfram Alpha circa 1.6 :O