Dominio di funzione e logaritmi

[HowardRoark]

Devo determinare il dominio di $y= sqrt(ln^2(-x) -2lnx^2 + 3)$ Noto subito che deve essere $x<0$.

Arrivo alla forma $ln^2(-x) -2lnx^2 + (ln8)/(ln2) >=0$.

Una prima domanda banale: è sbagliato passare dalla forma di sopra a $ln^2(-x) -4lnx + (ln8)/(ln2) >=0$? Perché in quest'ultimo caso l'argomento del logaritmo $-4lnx$, per le condizioni di esistenza dell'espressione, deve essere negativo.

EDIT: ripassando meglio l'argomento mi sono reso conto che l'ultima espressione non è corretta, in quanto la regola del logaritmo di una potenza vale solo per un numero positivo elevato a un esponente reale, e $x$ in questo caso non può essere positivo.

Comunque sia, il problema di determinare il dominio rimane...

[HowardRoark]

Ok, ho risolto così:

$ln(-x)^2 -2lnx^2 + 3 >=0 => ln(-x)^2 -4ln(-x) +3 >= 0 => ln(-x) = t => ...$ I punti di sospensione indicano la risoluzione dell'equazione di secondo grado in $t$.

Quello che vorrei capire è se sia corretto il primo passaggio, cioè se, poiché $x<0$, posso scrivere $-2lnx^2 = -4ln(-x)$.

Un altro modo di vedere la cosa forse è quello di ragionare con i moduli: posso porre $ln(|x|)^2 -4ln(|x|) + 3 >=0$...

[Bokonon]

Sei già al lavoro vedo!
Ma non ti sei ancora del tutto svegliato
Tieni dentro $ln(x^4)$ e sostituisci temporaneamente $x=-u$ con $u>0$ e risolvi l'equazione.
Il dominio che ti uscirà sarà $x<=-e^3$ e $-e<=x<0$

[@melia]

Scusa Haward, c'è un quadrato che si è spostato da $ ln^2(-x) $ a $ ln(-x)^2 $, vuoi correggere e mettere tutto nella forma corretta? Suppongo che fosse la prima delle due.

[HowardRoark]

In effetti il tuo metodo ha il pregio di non farmi venire dei dubbi riguardo le proprietà dei logaritmi.

Sfortunatamente però mi sono impelagato in questa strada, e vorrei sapere se sia corretta o meno. Cioè, poiché $x<0$, posso generalizzare scrivendo $-2lnx^2 = -4ln(-x)$?

O sarebbe forse meglio che rimanessi ancorato alla definizione di logaritmo della potenza, e applicassi tale proprietà solo quando l'argomento è positivo?

Beh, io intanto continuo a lavorare

[@melia]

Quello che proponi è corretto. Ha il difetto di farti rischiare la perdita del segno, perciò il consiglio di Bokonon di porre $x=-u$.

[HowardRoark]

Scusa Haward, c'è un quadrato che si è spostato da $ ln^2(-x) $ a $ ln(-x)^2 $, vuoi correggere e mettere tutto nella forma corretta? Suppongo che fosse la prima delle due.

Ci sono stato un pomeriggio intero a risolvere quest'ambiguità (non che ci volesse un pomeriggio intero per dissiparla; piuttosto, mi ha fatto perdere un pomeriggio intero perché continuavo a sbagliare le equazioni logaritmiche). A quanto pare (secondo la scrittura che adopera il mio libro di testo) $log_a(b)^2 = (log^2)_a(b)$: significano entrambi 'logaritmo al quadrato di $b$'.

Invece la scrittura $log_a (b^2)$ significa 'logaritmo di $b$ al quadrato'.

Comunque anche io preferisco la tua scrittura, sebbene ormai mi sia abituato ad utilizzare quella del libro di testo.

[Zero87]

A quanto pare (secondo la scrittura che adopera il mio libro di testo) $log_a(b)^2 = (log^2)_a(b)$: significano entrambi 'logaritmo al quadrato di $b$'.

Certo che indicare in quei due modi (il primo soprattutto) $log_a^2 (b)$...
... forse sono solo io che inizio a invecchiare e a non apprezzare l'evoluzione della matematica.

[HowardRoark]

A quanto pare (secondo la scrittura che adopera il mio libro di testo) $log_a(b)^2 = (log^2)_a(b)$: significano entrambi 'logaritmo al quadrato di $b$'.

Certo che indicare in quei due modi (il primo soprattutto) $log_a^2 (b)$...
... forse sono solo io che inizio a invecchiare e a non apprezzare l'evoluzione della matematica.

Comunque il secondo termine volevo indicarlo con la tua scrittura; l'ho scritto così perché non sono riuscito a scriverlo diversamente.

[Zero87]

Comunque il secondo termine volevo indicarlo con la tua scrittura; l'ho scritto così perché non sono riuscito a scriverlo diversamente.

Mi hai migliorato la giornata!
Puoi citare il mio messaggio precedente e vedere come ho scritto io, per esempio. Oppure puoi tenere a mente che qualsiasi "cosa", il "_" dà un pedice mentre il "^" dà l'apice.
Per esempio a_n^2 tra simboli di dollaro dà $a_n^2$.