Problema con massimi e minimi

[ZfreS]

Quindi se la derivata è: $y'=((2x+a)(x+c)-x^2-ax-b)/(x+c)^2$ devo sostituire $1$ a $x$ e $-1$ a $y$, giusto?

[gugo82]

No.

In un punto di estremo quanto vale la derivata?
Possibile valga $-1$?

[ZfreS]

Scusami ma non sto capendo. Ho ricavato la derivata, il punto $(1,-1)$ appartiene o no alla derivata? Quindi dovrei sostituire? Non posso banalmente porla uguale a $-1$

[gugo82]

No, non puoi.

Rifletti bene su ciò che stai facendo.

[SirDanielFortesque]

Metodo alternativo che bypassa la definizione di asintoto (anzi la sfrutta appieno):

$f(x)=(x^2+ax+b)/(x+c)=x+(a-c)+(b-c*(a-c))/(x+c)$

Come vedi il termine $(b-c*(a-c))/(x+c)$ soccombe a $infty$

Da cui ricavi $a-c=2 => c=a-2$
Riscrivi la funzione con questo dato:
$f(x)=x+2+(b-(a-2)*2)/(x+a-2)=x+2+(-2a+b+4)/(x+a-2)$

Imponi il passaggio per il punto di massimo:
$f(1)=-1$
$f(1)=3+(-2a+b+4)/(1+a-2)=3 => b=-2a$

Calcoli la derivata prima, sostituendo la relazione appena trovata tra $b$ ed $a$:

$f'(x)=1+(-(-2a+b+4))/(x+a-2)^2=1-(-4a+4)/(x+a-2)^2$
A questo punto devi fare in modo che la derivata prima si annulli per $x=1$, in armonia con il teorema di Fermat per i punti stazionari (i punti di massimo sono un sottoinsieme dei punti stazionari):

$f'(1)=0$

$1+(4a-4)/(a-1)^2=0$, $a!=1$
$1+4/(a-1)=0$
Da cui hai $a=-3$

Di conseguenza.

$b=6$
$c=-5$

$"dove sta il problema? @ZFres"$

[ZfreS]

Nessun problema adesso, ho capito benissimo, grazie tante per l'accurata spiegazione!