La traccia è la seguente:
$ int (2x+6)/(x^2+5x+7)dx $
Verifico il Delta: $Delta=5^2-4(1)(7)=-3 $
Riscrivo l'integrale come:
$int (2x)/(x^2+5x+7)dx+int(6)/(x^2+5x+7)dx$
E mi riporto a $int (f(x)')/f(x)dx=ln|f(x)| $ e $int 1/((a+b)^2+m^2)dx=1/m*arctg((a+b)/m)$
Quindi:
Sommo e sottraggo 5 al numeratore del primo integrale
$int (2x+5-5)/(x^2+5x+7)dx+int(6)/(x^2+5x+7)dx$
$int (2x+5)/(x^2+5x+7)dx-int 5/(x^2+5x+7)dx+int(6)/(x^2+5x+7)dx$
$int (2x+5)/(x^2+5x+7)dx+int(1)/(x^2+5x+7)dx$
$b^2/(4a^2)=5^2/(4(1))=25/4 $
Sommo e sottraggo questa quantità al denominatore del secondo integrale
$x^2+5x+7+25/4-25/4$ lo ricompatto in un quadrato di binomio come $x^2+5x+25/4=(x+5/2)^2 ;
7-25/4=3$
$ln|x^2+5x+7|+int 1/((x+5/2)+3^2)dx$
$ln|x^2+5x+7|+ 1/3*arctg((x+5/2)/3)dx$
$ln|x^2+5x+7|+ 1/3*arctg(((2x+5)/2)/3)dx$
Sbaglio in qualcosa?