Integrali fratti Δ<0

[User239]

La traccia è la seguente:

$ int (2x+6)/(x^2+5x+7)dx $

Verifico il Delta: $Delta=5^2-4(1)(7)=-3 $
Riscrivo l'integrale come:
$int (2x)/(x^2+5x+7)dx+int(6)/(x^2+5x+7)dx$
E mi riporto a $int (f(x)')/f(x)dx=ln|f(x)| $ e $int 1/((a+b)^2+m^2)dx=1/m*arctg((a+b)/m)$
Quindi:
Sommo e sottraggo 5 al numeratore del primo integrale

$int (2x+5-5)/(x^2+5x+7)dx+int(6)/(x^2+5x+7)dx$

$int (2x+5)/(x^2+5x+7)dx-int 5/(x^2+5x+7)dx+int(6)/(x^2+5x+7)dx$

$int (2x+5)/(x^2+5x+7)dx+int(1)/(x^2+5x+7)dx$
$b^2/(4a^2)=5^2/(4(1))=25/4 $
Sommo e sottraggo questa quantità al denominatore del secondo integrale
$x^2+5x+7+25/4-25/4$ lo ricompatto in un quadrato di binomio come $x^2+5x+25/4=(x+5/2)^2 ;
7-25/4=3$

$ln|x^2+5x+7|+int 1/((x+5/2)+3^2)dx$

$ln|x^2+5x+7|+ 1/3*arctg((x+5/2)/3)dx$
$ln|x^2+5x+7|+ 1/3*arctg(((2x+5)/2)/3)dx$

Sbaglio in qualcosa?

[SirDanielFortesque]

$ int (2x+6)/(x^2+5x+7)dx $
La prendi troppo (e inutilmente) alla larga:

$ int (2x)/(x^2+5x+7)dx+int(6)/(x^2+5x+7)dx $
[tanti passaggi inutili]
$ int (2x+5)/(x^2+5x+7)dx+int(1)/(x^2+5x+7)dx $

Perché non lo spezzi subito così, guarda:
$ int (2x+6)/(x^2+5x+7)dx =int(2x+5+1)/(x^2+5x+7)dx =int(2x+5)/(x^2+5x+7) dx +int1/(x^2+5x+7)dx$

?????

[User239]

In classe abbiamo trattato solo questo metodo fin ora. In ogni caso, il mio risultato è corretto?

[anto_zoolander]

Secondo me nemmeno hai letto quello che ha scritto Daniel, visto che non utilizza nessun ‘metodo’.

[SirDanielFortesque]

Vediamo un po'... ti scrivo qua i passaggi sbagliati di cui mi sono accorto:

$ ln|x^2+5x+7|+int 1/((x+5/2)+3^2)dx $

per prima cosa hai dimenticato un $^2$ al denominatore: sarebbe $(x+5/2)^2$
In secondo luogo $+3^2$ non è il $k$ giusto da aggiungere dato che poi da quello che ho capito applichi la seguente formula:
$c,k in RR$


$int[(f'(x))/(k^2+f^2(x))]dx=1/k*arctg(f(x)/k)+c$

Il $k$ giusto sarebbe $3/4$, ossia quanto manca a $25/4$ per arrivare a $28/4$ che è uguale a $7$.
Tu devi riscrivere $x^2+5x+7$ come $("qualcosa")^2+ "k"$ ragiona su questo. E prova a ricalcolare il $k$.

Ultimo ma non meno importante
Qui dimentichi puntualmente tutte le costanti $c$ arbitrarie, anzi al loro posto hai messo dei $dx$, che oltre che sbagliati sono pure antiestetici:

$ ln|x^2+5x+7|+ 1/3*arctg((x+5/2)/3)dx $

$ ln|x^2+5x+7|+ 1/3*arctg(((2x+5)/2)/3)dx $

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

In classe abbiamo trattato solo questo metodo fin ora

Perdonami ma ho solo messo in evidenza il fatto che $5+1=6$, se però nella tua classe non si fa così io non mi sento di controbattere, ovviamente.

Si ho letto dopo @AntoZooLander, però buh, che dire... Se per davvero lo hanno indottrinato con questi metodi bislacchi.

[anto_zoolander]

Daniel dicevo a lui: personalmente sono d’accordissimo con la tua precisazione sopra.

[SirDanielFortesque]

Spero abbia solo letto male. Quanto fa $5+1$ lo sanno tutti suvvia...

@User239
Prima di procedere a testa bassa e con fare rinocerontico a mescolare numeri prenditi $30s$ per guardare l'esercizio.
Nulla toglie che sia un errore che anche io, e anzi un po' tutti si commette, delle volte.