Domanda su disequazioni

Ho un dubbio sulle disequazioni in generale: mi è sempre stato insegnato di risolvere dìle disequazioni fratte e prodotto col maggiore indipendentementa dal segno di questa e solo alla fine considerare il segno della disequazione di partenza. Ma non mi sono mai chiesto il perchè. Se non rispettassi la regola, pechè la disequazione dovrebbe venire sbagliata?

Allora … premettiamo che dovresti sforzarti di esprimerti meglio, nel senso di essere più preciso, perché volendo essere rigorosi quello che hai scritto significa poco …

Assumendo che tu intenda dire che quando si vuole risolvere una disequazione fratta, la tecnica (e non la "regola") frequentemente usata sia quello di studiare, separatamente, il segno di numeratore e denominatore, la motivazione per cui si fa questo è semplicissima: il segno di un prodotto (o di una divisione, che però di fatto è ancora un prodotto) dipende da quello dei suoi fattori quindi è più semplice (generalmente) studiare questi che l'espressione completa.
Studiare il segno di un'espressione, in generale, significa trovare i valori per cui quell'espressione è positiva, negativa o nulla; quindi, di fatto, è indifferente porre quell'espressione maggiore o minore di zero, in quanto le soluzioni che troverai ti diranno in quale intervallo tale espressione è positiva o negativa e di conseguenza negli altri intervalli sarà vero il contrario (escluso i punti dove si annulla).

Cordialmente, Alex

In effetti provando, ho scoperto che era indifferente porre l'espressione maggiore o minore di zero, ma mi hanno detto che non sempre funzionava. Evidentemente ciò non è vero. Grazie per il chiarimento.

Scusate se riprendo, ma mi è sorto un dubbio a riguardo: se la disequazione è del tipo $f(x)/(g(x))<0$ perchè se studio numeratore col maggiore e denominatore col minore o viceversa è sbagliato, mentre sudiandoli entrambi col maggiore viene giusto?

Non è sbagliato, è indifferente, l'importante è trarre le conclusioni corrette da quello che fai …
Il consiglio che si dà di solito è quello di porre entrambi maggiori (o uguali se del caso) di zero al fine di avere una procedura standard che evita di "pensare" ogni volta quale sia l'insieme soluzione.
Però va da sé che basta riflettere su quel che si fa per non sbagliare …

Cordialmente, Alex

Ok, evidentemente non usando la procedura standard, non traggo le giuste conclusioni. Se per esempio prendo questa
disequazione: $(x-2)/(x-3)<0$, studio numeratore e denominatore col maggiore e ootengo $x>2$ e $x>3$, poi dal grafico dei segni capisco che il rapporto è negativo qquando prendo valori compresi tra $2$ e $3$, $2<x3$.
Ma posso ragionare così: dato che il rapporto tra i due polinomi è negativo, allora deve essere negativo o il numeratore o il denominatore, allora studio il num col maggiore ottenendo $x>2$ e il den col minore ottenendo $x<3$. Ma quando vado a prendere i valori negativi dal grafico dei segni, risultano essere i valori esterni a $2$ e $3$, e non compresi come nel caso di prima. Se il metodo è giusto, allora sto sbagliando a interpretare il risultato. Dove sbaglio?

Non ho capito molto del tuo ragionamento … saresti così gentile da riportare il grafico dei segni dell'ultimo caso?
Cioè numeratore posto maggiore di zero e denominatore minore di zero?

Ecco qua.

Come sospettavo ...
Cosa sono "le soluzioni" della disequazione $x-3<0$?
Sono l'insieme dei valori da dare all'incognita $x$ tali da rendere vera la disequazione in esame.
Quindi nel nostro caso l'intervallo $x<3$ è quello che soddisfa la disequazione $x-3<0$ ovvero che rende NEGATIVO il denominatore.
E allora perché nel tuo grafico dei segni lo denoti come POSITIVO?

Cordialmente, Alex

Ma io nel grafico ho messo $x<3$. Quello che denonoto con $x>3$ è l'intervallo in cui la frazione risulta negativa.