Dubbio su integrale

[ZfreS]

Ho questo integrale: $int x/(root(3)(1+x))dx$. Io l'ho risolto ponendo $x+1=t$, però il libro consigliava di porre $x=t^3-1$.
Quel che non capisco è perchè pone $x$ anzichè $t$. Pi non ho capito perchè proprio $t^3-1$. Potreste spiegarmi il perchè?

[axpgn]

Quel che non capisco è perchè pone $x$ anzichè $t$.

Per comodità, perché è più semplice, tanto è la stessa cosa …

Pi non ho capito perchè proprio $ t^3-1 $.

Sempre per lo stesso motivo, perché è più semplice calcolarlo ...

Calcolare un integrale non è meccanico come calcolare una derivata, anzi .. è un'arte (cit. )

[ZfreS]

Ma il fatto che sia stata fatta la sostuzione con $x=t^3-1$ c'entra con lo sviluppo della differenza tra due cubi?
Di chi è la citazione?

[axpgn]

Non c'entra niente la differenza tra cubi, fai quella sostituzione e ti accorgerai immediatamente quanto diventa più facile.

Non so di chi sia la citazione, l'ho letta tante volte … e la condivido pienamente.

[ZfreS]

Bene, condivido anche io, tuttavia di fronte agli integrali anche un popiù difficili ho trovato la strada, anche se non quella che avrei dovuto. Data la tua esperienza potresti darmi un consiglio su come procedere in generale davanti a un integrale grosso trigonometrico.

[axpgn]

Te lo ridico in modo diretto, visto che in modalità soft non ha funzionato: in generale, NON esistono tecniche che vadano sicuramente bene per un tipo di integrale piuttosto che un altro; occorre fantasia, occhio e tanta esperienza … e non è detto che bastino (senza considerare gli integrali che NON si possono "risolvere" in funzioni elementari)

[SirDanielFortesque]

NON esistono tecniche che vadano sicuramente bene per un tipo di integrale piuttosto che un altro;

Però esiste una trattazione sistematica.

Per esempio c'è un minimo di classificazione no?

Penso ad un integrale del tipo

$I=int R(x,root(n)(ax+b))dx$

$n in NN, n>=2, a, b in RR, a!=0, R(u,v)$ una funzione razionale.

rientra nella categoria degli integrali razionalizzabili (sostituzione $t=root(n)(ax+b)$).

Sempre in questa categoria ricadono molti tipi di integrali, per esempio

$I=int R(x, sqrt(1+x^2))dx$ con $R(u,v)$ una funzione razionale. Anch'esso può essere risolto sostituendo $x=tg(t)$

Dipende da quanto piace fare questo tipo di schematizzazione al suo docente forse. Però la schematizzazione esiste correggimi se sbaglio.

[ZfreS]

Bene, grazie per l'aiuto!

[axpgn]

Sempre in questa categoria ricadono molti tipi di integrali, per esempio

Cosa significa "molti"? Siccome hai risolto cinquecento esercizi sugli integrali (facili, meno facile, difficili, …, immediati, per parti, per sostituzione, razionali fratti, trigonometrici, … e via dicendo) pensi di averli visti tutti e che tutti rientrino in qualche categoria?
A mio parere, questo è un errore e ancor più "far credere" che la Matematica sia (solo) algoritmi e formule

Peraltro, su 'ste cose c'è sempre un bel dibattito …

[SirDanielFortesque]

pensi di averli visti tutti

I sorci verdi dopo tanti esercizi si. Tutti gli integrali no.

Però il 40% è tecnica secondo me. Il resto non so cos'è. Forse come dici tu è arte.

Sempre per esempio se scrivo

$I=intsqrt(x)/(1+root(3)(x))dx$

è la tecnica che mi dice che devo sostituire $x=t^n$ con $n=mcm(2,3)=6$. Se inizio a fare sostituzioni alla carlona mi complico la vita soltanto.