Teorema di De l'Hopital

Dato il $lim_(x->0)((ln(x+1))^x)$ applicare il teorema.

Ho provato a rendere $x=1/t$ e quindi rendere il limite $lim_(t->infty)((ln((1/t)+1))/t)$ ma ottengo, salvo errori, $0$ mentre il risultato è $1$ come riporta anche il grafico su Geogebra.

Grazie

Sei sicuro che il limite non sia valutato in $0^(+)$?

No anche a me suonava strano...ma riporta $x->0$

Hai trasformato $ lim_(x->0)((ln(x+1))^x) $ in $ lim_(t->infty)((ln(1/t+1))/t) $ ; però sostituendo a me viene $ lim_(t->infty) [ln(1/t+1)]^(1/t) $ … ti sembrano uguali?

Hai ragione! Ho pensato di applicare la proprietà dei logaritmi ma invece non è solo $(x+1)^x$ bensì tutto il logaritmo...
Però ritornando al caso corretto anche con $t$ come esco dal caso di indecisione?

Nel caso corretto, basta una piccola manipolazione algebrica e il limite di Nepero

Limite di Nepero? Non lo abbiamo fatto e non l'ho mai sentito

In effetti ho fatto confusione … Nepero lascialo stare … vediamo un po' …

Ripensandoci, quello che ho scritto va bene però non è conclusivo …

$ lim_(x->0)((ln(x+1))^x) $

Se faccio le condizioni di esistenza

$\{(x> -1),(ln(x+1)>0):}$

$\{(x> -1),(ln(x+1)>ln(1)):}$

$\{(x> -1),(x>0):}$

$Domf=x in RR^(+) - {0}$


Quindi così com'è il limite non esiste. Io ti calcolo quest'altro limite:

$L= lim_(x->0^(+))[ln(x+1)]^x=lim_(x->0^(+))e^[ln(ln(x+1))^x]=lim_(x->0^(+))e^(x*ln(ln(x+1))) $

A questo punto calcoli il limite dell'esponente:

$lim_(x->0^(+))[ln(ln(x+1))/(1/x)]$ essendo questa una forma di indecisione del tipo $[\infty/\infty]$ la puoi sciogliere con Del'Hospital e viene $0$

Da cui il limite inziale è $e^(0)=1$