La moneta caduta di Anna e Marco (sistemi di equazioni)

[curie88]

E prima dell'episodio Marco ne aveva 22.

[@melia]

Hai usato la parola "inferiore" presente nel testo con il doppio significato di inferiore di 6 euro, ma anche inferiore di quella inferiore a 6 euro, inoltre la seconda equazione non è verificata.

[curie88]

È vero ho tradotto male.
Perché però la seconda equazione non è verificata?

[@melia]

"se me la intascassi avrei invece una somma il cui doppio supererebbe di € 9 quella rimasta a te"
il doppio di $11+2$ non supera di 9 euro la somma rimasta a Marco, ma solo di 6 euro.

[curie88]

Ok. Be' si dato che ho mal interpretato il testo non poteva essere altrimenti. Sono stato pigro non ho fatto verifica.
Grazie comunque, il tuo intervento in questo caso è costruttivo. Saluti.

[3m0o]

Problema
Una moneta caduta
Anna e Marco stanno camminando quando dalla tasca di Marco cade a terra una moneta da € 2. Anna, che conosce la somma in possesso di Marco, la raccoglie e gli dice: «Se ora ti restituissi questa moneta, il triplo della somma in mio possesso sarebbe inferiore di € 6 rispetto al doppio della tua; se me la intascassi avrei invece una somma il cui doppio supererebbe di € 9 quella rimasta a te». Quanti euro avevano rispettivamente Anna e Marco prima di questo episodio?

Questi sono i miei dati:
Anna = x
Marco = y

Secondo me vale la pena di soffermarsi maggiormente sul significato che dai alle incognite. Quando scrivi Anna $ =x$ e Marco $= y$ è ambiguo, e rischi di confonderti poi quando devi impostare il sistema. Per mostrartelo di riporto due significati di incognite differenti.

$x=$ Al numero di soldi che aveva in tasca Anna prima della caduta della moneta da 2 euro a terra
$y=$ Al numero di soldi che aveva in tasca Marco prima della caduta della moneta da 2 euro a terra

In questo caso è più chiaro per te in primis, cosa significano le incognite e quando devi impostare il sistema sai che se Anna restituisce la moneta caduta allora la somma totale di soldi in tasca ai due rimane invariata. Ovvero Anna possiede ancora $x$ euro e Marco $y$ euro. Mentre se Anna si intasca la moneta allora Anna avrà 2 euro in più e Marco 2 euro in meno rispetto a prima. Dunque i totali sono $x+2$ Anna e $y-2$ Marco. E il sistema diviene dunque
\[ \left\{\begin{matrix}
3x& = &2y-6 \\
2(x+2)&=& (y-2)+9
\end{matrix}\right. \]
Risolto otterrai come soluzioni $x=12$ e $y=21$ e visto che abbiamo definito $x$ e $y$ come le quantità possedute dai due prima dell'avvenimento allora Marco possedeva prima che li cadesse la moneta $21$ euro e Anna $12$.

Definizione alternativa.
$x=$ Al numero di soldi che aveva in tasca Anna dopo la caduta della moneta da 2 euro a terra, ma prima che Anna la raccogliesse.
$y=$ Al numero di soldi che aveva in tasca Marco dopo la caduta della moneta da 2 euro a terra, ma prima che Anna la raccogliesse.
Sul terreno ci sono dunque 2 euro.

Pertanto il valore posseduto da Anna e da Marco prima della caduta della moneta da 2 euro sono rispettivamente $x$ per Anna, a lei non è caduta alcuna moneta il suo totale precedente alla caduta non cambia. E $y+2$ per Marco, perché a lui sono caduti 2 euro quindi prima che li cadessero ne possedeva 2 in più rispetto a ora che una moneta da 2 euro è sul terreno.

Ora possiamo impostare il sistema, se Anna restituisce la moneta caduta allora la somma totale di soldi in tasca ai due è uguale alla somma che possedevano i due prima che la moneta cadesse. Ovvero Anna possiede ancora $x$ euro e Marco $y+2$ euro. Mentre se Anna si intasca la moneta allora Anna avrà 2 euro in più e Marco avrà la stessa quantità di euro che possiede dopo la caduta. Dunque i totali sono $x+2$ Anna e $y$ Marco. E il sistema diviene dunque
\[ \left\{\begin{matrix}
3x& = &2(y+2)-6 \\
2(x+2)&=& y+9
\end{matrix}\right. \]
Risolto otterrai come soluzioni $x=12$ e $y=19$ e visto che abbiamo definito $x$ e $y$ come le quantità possedute dai due dopo l'evento della caduta allora Marco possedeva prima che li cadesse la moneta $19+2=21$ euro e Anna $12$.

Vanno bene entrambi i modi, in realtà puoi definire $x$ e $y$ come ti pare, si predilige solitamente quella più semplice e diretta per minimizzare la possibilità di errori e/o di sviste. Ad esempio io avrei scelto la prima definizione di $x$ e $y$, però per altri potrebbe risultare più comodo pensare in altri termini, ad esempio la seconda o un'altra ancora. L'importante è restare coerenti con la propria scelta e avere ben presente il significato delle quantita che definisci. Il primo sistema è corretto solo se associato alla prima definizione di incognite. Il secondo sistema è corretto solo se associato alla seconda definizione di incognite, se inverti i sistemi otterrai delle risposte sbagliate. Ti sconsiglio vivamente di scrivere cose come Marco = y e Anna = x, in primis per te, diviene più chiaro come ragionare quando hai in chiaro il significato delle variabili e secondariamente perché chi legge non sa come interpretarlo e deve "indovinare". Difatti hai ottenuto inizialmente 3 risposte diverse anche per questo motivo.