Matematicamente.it

Vi allego copia della simulazione di matematica e fisica, fresca fresca di stamattina. Qualcuno ha voglia di cimentarsi?
Ho spezzato il testo in più parti, questo è il primo problema
ESAME DI STATO DI ISTRUZIONE SECONDARIA SUPERIORE
Indirizzi: LI02, EA02 – SCIENTIFICO
LI03 - SCIENTIFICO - OPZIONE SCIENZE APPLICATE LI15 - SCIENTIFICO - SEZIONE AD INDIRIZZO SPORTIVO
(Testo valevole anche per le corrispondenti sperimentazioni internazionali e quadriennali)
Tema di: MATEMATICA e FISICA
Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 4 quesiti.

PROBLEMA 1
Assegnate due costanti reali a e b (con a>0), si consideri la funzione q(t) così definita:

1. A seconda dei possibili valori di a e b, discutere se nel grafico della funzione q è presente un punto di massimo o di minimo. Determinare i valori di a e b in corrispondenza dei quali il grafico della funzione q(t), in un piano cartesiano di coordinate $(t,y)$, ha un massimo nel punto $B(2,8/e)$.
2. Assumendo, d’ora in avanti, di avere $a=4$ e $b=-1/2$ , studiare la funzione

verificando, in particolare, che si ha un flesso nel punto $F(4,16/e^2 )$.
Determinare l’equazione della retta tangente al grafico nel punto F.

3. Supponendo che la funzione q(t) rappresenti, per t≥0, la carica elettrica (misurata in C) che attraversa all’istante di tempo t (misurato in s) la sezione di un certo conduttore, determinare le dimensioni fisiche delle costanti a e b sopra indicate. Sempre assumendo $a=4$ e $b=-1/2$ , esprimere l’intensità di corrente $i(t)$ che fluisce nel conduttore all’istante t; determinare il valore massimo ed il valore minimo di tale corrente e a quale valore essa si assesta col trascorrere del tempo.

4. Indicando, per $t_0≥0$, con $Q(t_0)$ la carica totale che attraversa la sezione del conduttore in un dato intervallo di tempo $[0,t_0 ]$, determinare a quale valore tende $Q(t_0)$ per $t_0→+∞$.
Supponendo che la resistenza del conduttore sia $R=3Ω$, scrivere (senza poi effettuare il calcolo), un integrale che fornisca l’energia dissipata nell’intervallo di tempo $[0,t_0 ]$.

Stamattina ho fatto fresco fresco di stampa l'altro problema.

Sto ragionando da giorni sui punti 3-4 di questo problema, ma non riesco a venirne a capo.
Il punto 3 dice:

sia q(t) la carica elettrica (misurata in C) che attraversa all’istante di tempo t (misurato in s) la sezione di un certo conduttore...

a me, questa, sembra proprio la definizione di corrente elettrica! qualcuno la pensa come me? o sono io che mi sto perdendo qualcosa?

peppe_89 ha scritto:Il punto 3 dice:
sia q(t) la carica elettrica (misurata in C) che attraversa all’istante di tempo t (misurato in s) la sezione di un certo conduttore...

a me, questa, sembra proprio la definizione di corrente elettrica! qualcuno la pensa come me? o sono io che mi sto perdendo qualcosa?

La corrente è la carica che attraversa una sezione NELL'UNITA' di tempo, non AD UN ISTANTE di tempo. Quella del problema, direi che è la carica CUMULATA che HA ATTRAVERSATO la sezione all'istante t, insomma l'integrale della corrente.
Certo che se invece di dire "attraversa" avessero detto "ha attraversato" si capiva meglio...

E quindi al punto 4, Q(t0) come si calcola? Come q(t0)? O come l'integrale di q tra 0 e t0?

Inoltre c'è un'altra considerazione da fare. Se q(t) è la carica cumulata che ha attraversato la sezione, come può essere che è una funzione che presenta un massimo dopo il quale decresce? Se fosse una quantità cumulata, non dovrebbe essere crescente nel suo dominio?

Propongo la soluzione della parte analitica del problema.
Per me, la parte fisica ha un testo ambiguo e preferisco tralasciarla (fornendo solo qualche indicazione in merito)... Anzi, gradirei fossero gli esperti fisici del forum a dare un loro parere in merito.

@melia ha scritto:PROBLEMA 1
Assegnate due costanti reali a e b (con a>0), si consideri la funzione q(t) così definita:

$q(t)=at*e^(bt)$

1. A seconda dei possibili valori di a e b, discutere se nel grafico della funzione q è presente un punto di massimo o di minimo. Determinare i valori di a e b in corrispondenza dei quali il grafico della funzione q(t), in un piano cartesiano di coordinate $(t,y)$, ha un massimo nel punto $B(2,8/e)$.

La funzione $q(t):= ate^{bt}$ è definita ovunque in $RR$, continua e derivabile quante volte si vuole.
Per $b=0$ la funzione assegnata coincide con la funzione lineare $q(t)=at$, dunque il suo grafico è noto e possiamo tralasciare di analizzare cosa accade in questo caso: nel seguito supporremo sempre $b!=0$.

La funzione assegnata è positiva per $t>0$, negativa per $t<0$ e nulla in $t=0$, dato che il suo segno dipende unicamente dal segno di $t$.
Agli estremi del dominio si ha:
\[
\begin{split}
\lim_{t\to -\infty} q(t) &= \begin{cases} 0 &\text{, se } b > 0 \\ -\infty &\text{, se } b < 0 \end{cases} \\
\lim_{t\to +\infty} q(t) &= \begin{cases} +\infty &\text{, se } b > 0 \\ 0 &\text{, se } b < 0 \end{cases}
\end{split}
\]
ed il grafico:

• ha un asintoto orizzontale a sinistra di equazione $y=0$ (asse delle ascisse) se $b>0$;
  
  
• presenta un asintoto orizzontale a destra di equazione $y=0$ (asse delle ascisse) se $b<0$;
  
  
• in nessun caso (a parte $b=0$) è dotato di asintoto obliquo, in quanto $q(t)$ va all'infinito in $+-oo$ (a seconda del segno di $b$) più velocemente di un esponenziale.

La derivata prima è:
\[
q^\prime (t) = a(1+bt)e^{bt}
\]
e risulta:
\[
q^\prime (t) \geq 0 \qquad \Leftrightarrow \qquad 1+bt\geq 0 \qquad \Leftrightarrow \qquad bt \geq -1\; ;
\]
quindi, discutendo l'andamento al variare del parametro $b$ otteniamo:

• se $b>0$: $q^\prime (t) >= 0$ per $t >= -1/b$, quindi $q$ è strettamente crescente per $t >= -1/b$, strettamente decrescente per $t <= -1/b$ ed ha un minimo assoluto in $t = -1/b$;
  
  
• se $b<0$: $q^\prime (t) >= 0$ per $t <= -1/b$, quindi $q$ è strettamente crescente per $t <= -1/b$, strettamente decrescente per $t >= -1/b$ ed ha un massimo assoluto in $t = -1/b$.

La derivata seconda è:
\[
q^{\prime \prime} (t) = ab(2+bt)e^{bt}
\]
quindi:
\[
q^{\prime \prime} (t) \geq 0 \qquad \Leftrightarrow \qquad b^2 t \geq -2b\; ;
\]
dunque:

• per ogni $b!=0$ risulta \(q^{\prime \prime} (t) \geq 0\) se e solo se $t >= -2/b$, cosicché la funzione $q$ è strettamente convessa per $t >= -2/b$, strettamente concava per $t <= -2/b$ ed il grafico ha un flesso nel punto di ascissa $t= -2/b$.

Seguono i grafici di $q(t)$ con $a=1$ e $b=1$ (in rosso) ed $a=2$ $b=-2/3$ (in azzurro):



La $q$ ha massimo assoluto in $(2,8/e)$ solo se $b<0$ e risulta:
\[
\begin{cases}
-\frac{1}{b} = 2\\
-\frac{a}{e b} = \frac{8}{e}
\end{cases}
\]
da cui $b=-1/2$ ed $a=4$.

@melia ha scritto: 2. Assumendo, d’ora in avanti, di avere $a=4$ e $b=-1/2$ , studiare la funzione

$q(t)=4t*e^(- t/2)$

verificando, in particolare, che si ha un flesso nel punto $F(4,16/e^2 )$.
Determinare l’equazione della retta tangente al grafico nel punto F.

Lo studio della funzione $q$ con $b=-1/2$ ed $a=4$ ricade nello spettro di quelli esaminati in precedenza, quindi il grafico si può tracciare in maniera immediata:


L'equazione della retta tangente in $F$ si calcola sfruttando la formula $q = q^\prime (4)*(t - 4) + q(4)$ quindi ha equazione $q = -4/e^2 t + (32)/e^2$.

@melia ha scritto: 3. Supponendo che la funzione q(t) rappresenti, per t≥0, la carica elettrica (misurata in C) che attraversa all’istante di tempo t (misurato in s) la sezione di un certo conduttore, determinare le dimensioni fisiche delle costanti a e b sopra indicate. Sempre assumendo $a=4$ e $b=-1/2$ , esprimere l’intensità di corrente $i(t)$ che fluisce nel conduttore all’istante t; determinare il valore massimo ed il valore minimo di tale corrente e a quale valore essa si assesta col trascorrere del tempo.

Qui si vorrebbe spingere gli studenti a ricordare che $i(t)=q^\prime (t)$, immagino, ma non sono sicuro che ciò sia fisicamente corretto (per com'è scritto il testo non mi pare, ma potrei non aver capito bene la Fisica sottostante al problema); la stessa ambiguità influisce sull'analisi dimensionale delle costanti.

@melia ha scritto: 4. Indicando, per $t_0≥0$, con $Q(t_0)$ la carica totale che attraversa la sezione del conduttore in un dato intervallo di tempo $[0,t_0 ]$, determinare a quale valore tende $Q(t_0)$ per $t_0→+∞$.
Supponendo che la resistenza del conduttore sia $R=3Ω$, scrivere (senza poi effettuare il calcolo), un integrale che fornisca l’energia dissipata nell’intervallo di tempo $[0,t_0 ]$.

Anche qui si vorrebbe spingere gli studenti a "sommare" le cariche $q(t)$ sull'intervallo $[0,t_0]$, ossia a calcolare $Q(t_0) = int_0^(t_0) q(t) "d"t$, ma non sono sicuro che ciò sia fisicamente corretto.

La parte matematica era a mio parere abbastanza facile. Sulla parte fisica sono d'accordo che si vorrebbe spingere gli studenti a fare quello che dici tu, ma non sono convinto sia fisicamente corretto

@peppe_89

gugo82 ha scritto:[...]Anzi, gradirei fossero gli esperti fisici del forum a dare un loro parere in merito[...]

A questo proposito vi rimando alla sezione di fisica per aggiornamenti.

Visto che a causa dei problemi (motivati e condivisi) originati dalla scarsa chiarezza del testo la soluzione del problema in oggetto è rimasta in sospeso, alla luce delle considerazioni fatte qui ed assunta come valida l'interpretazione della funzione $q(t)$ come descritto nella discussione che ho linkato, mi permetto di aggiungere, a beneficio degli studenti che leggono, la conclusione del punto 4.

La potenza istantanea $P(t)$ dissipata dal resistore si può esprimere come $Ri^2$, che corrisponde a:$" "P(t)=R[q'(t)]^2$ ;

integrando quest'ultima sull'intervallo di tempo specificato si ottiene l'energia $W$ richiesta:



integrale di cui il calcolo non è richiesto ma è comunque eseguibile per parti, e dove ovviamente le costanti corrispondono ai valori assegnati, opportunamente dimensionati ( $a$ in $A$ , $b$ in $s^-1$ ).