Continuità e derivabilità

[francy99]

La funzione definita con x per x<0 e x+1 altrove non è continua e quindi non è derivabile in 0.
Ma il limite del rapporto incrementale, calcolato in 0, non vale 1 sia dalla destra che dalla sinistra?

[Zero87]

Visto che sei iscritto da poco, ti do una mano con le formule. Occhio che io non so scrivere i sistemi, ma quando scrivi un messaggio tra le opzioni sotto l'invio e l'anteprima c'è un "aggiungi formula" che può essere divertente da usare per vedere come si scrivono. Per il resto in alto, nel box rosa presente in ogni pagina, c'è il link alla discussione di esempio.

Comunque, la tua funzione è
$f(x) = \{ ( x, \qquad x<0 ) , ( x+1, \qquad x>=0 ):}$
ho solo fatto lo splendido e ho aggiunto un "\qquad" che è un comando che dà un po' di spaziatura (che non so nemmeno se sia necessario, è un'abitudine mia), se citi il mio messaggio puoi vedere il codice.

Ora, passiamo all'esercizio in sé.

Ma il limite del rapporto incrementale, calcolato in 0, non vale 1 sia dalla destra che dalla sinistra?

Rapporto incrementale ok, ma continuità?

EDIT. Avevo scritto una scemenza ma intendevo quello che ha detto Bokonon. Ho corretto.

[Bokonon]

La funzione definita con x per x<0 e x+1 altrove non è continua e quindi non è derivabile in 0.
Ma il limite del rapporto incrementale, calcolato in 0, non vale 1 sia dalla destra che dalla sinistra?

Sono due semirette parallele per questo vedi il medesimo coefficiente angolare.
Ma la continuità è condizione necessaria per la derivabilità (come sai).
Non serve a nulla avere due pendenze uguali se poi, effettuando una stima nell'intorno di zero, si ha:
$f(x_0+h)=f(x_0)+f'(x_0)*h$
Quindi per come è definita la f(x) abbiamo:
$f(h)=f(0)+f'(0)*h=1+1*h=1+h$

Passando al limite abbiamo sia che $lim_(h->0^+) f(h)=lim_(h->0^+) 1+h=1^+$ ed è vero.
Sia che $lim_(h->0^-) f(h)=lim_(h->0^-) 1+h=1^(-) !=0$ ed è falso.