Matematicamente.it

Quella sulla secante non l'ho capita.

Ok, mi sono sbagliato. Però in base al quel teorema, i segmenti tangenti alla circonferenza dovrebbero essere conguenti. Ma un lato è $2ctg(x/2)$ e l'altro è $4/(sinx)$

Ma quanto deve venire l'area?

L'area deve venire $8/(sinx)$

Con i lati che ho scritto viene corretto allora. Prova a capire come li ho trovati (se non lo hai già capito). Devi tracciare il raggio per il punto di tangenza. Ottieni dei triangoli rettangoli.

Ho capito come hai ricavato il lato $AB$, ma non $BC$ e $CD$. Se traccio i raggi, ottengo due triangoli rettangoli, ma non trovo alcuna informazione su $BC$ e $CD$. Questo è il disegno che ho fatto:

L'angolo $B\hat(C)D$ è $pi-x$

Tracci il segmento $\bar(FC)$ e, sempre per le tangenti tracciate dal punto esterno hai $F\hat(C)E=F\hat(C)D=pi/2-x/2$ come giammaria ti aveva fatto notare. A quel punto hai $FCD$ triangolo rettangolo, di cui hai un cateto $\bar(FD)=2$ e un angolo $F\hat(C)D$ (oltre all'angolo retto in $\hatD$)

Quindi trovi l'altro cateto sapendo che ciascun cateto è uguale all'altro cateto moltiplicato per la cotangente dell'angolo adiacente al cateto incognito.

Chiaramente do per scontato tu sappia che $cotg(pi/2-x)=tg(x/2)$


In definitiva avrai
$S(x)=((2tg(x/2)+2cot(x/2))*4)/2$ e con le formule goniometriche riesci a portarti al risultato sperato.

Ok, ho capito tutto tranne due cose: perchè l'angolo $BCD$ è $pi-x$ e perchè l'angolo $CFD$ è $x/2$

Un trapezio è un quadrilatero. La somma degli angoli interni di un quadrilatero è $2pi$

$C\hat(D)A=pi/2$ e $B\hat(A)D=pi/2$

$A\hat(B)C=x$

Per differenza

$B\hat(C)D=2pi-(A\hat(B)C+B\hat(A)D+C\hat(D)A)=2pi-(x+pi/2+pi/2)=pi-x$

Ah ok adesso ho capito, questo in effetti era facile, ma quando dici che $FCE=FCD=pi/2-x/2$ significa che l'angolo $CFD$ è di $x/2$, ma non capisco perchè.