Problema di trigonometria con limiti

[ZfreS]

E quindi è giusto dire che $OQP=x$

[SirDanielFortesque]

Guarda che l'angolo compreso tra i due raggi è $Q\hat(O)P=x$ non $O\hat(Q)P$.

Su $O\hat(Q)P$ ho ancora qualche dubbio che sia $x$. Ma ai fini del problema questa informazione è poco rilevante.

[ZfreS]

Ok, tutti i discorsi fatti prima da me erano riferiti all'angolo $QOP$, mi ero sbagliato.

[SirDanielFortesque]

Eh mi pareva... ancora un po' e mi convincevi

[ZfreS]

Ma quindi perchè il risultato viene comunque sbagliato?

[SirDanielFortesque]

ALT fermi tutti con le funzioni che ho scritto viene sbagliato? Quanti deve venire il risultato scusa?

[SirDanielFortesque]

Avevo dimenticato un elevamento al quadrato scusa. Ho corretto. Alla fine dovrebbe venire

$f(x)=(cos(x)-cos(2x))/(1-cos(x))$

[ZfreS]

Il risultato del libro è: $f(x)=2cosx+1$

[SirDanielFortesque]

Allora è giusto. È solo da scomporlo.

$f(x)=(cos(x)-cos(2x))/(1-cos(x))$

Infatti, parto da lontano.

Il trinomio

$at^2+bt+c$

può essere scomposto effettuando un raccoglimento, ammesso che abbia senso farlo, nella seguente maniera e cioè "rompendo" il termine di primo grado in due termini che possono essere ottenuti con la seguente formula:

$(s+-sqrt(s^2-4p))/2$

Dove $s$ è la somma e $p$ il prodotto dei termini, che si può facilmente reperire dal polinomio:

$s=b$ la somma.
$p=a*c$ il prodotto.


Allora cerca di scomporre il numeratore:

$cos(x)-cos(2x)=cos(x)-(cos^2(x)-sen^2(x))=cos(x)-[cos^2(x)-(1-cos^2(x))]=$

$=cos(x)-[2cos^2(x)-1]=-2cos^2(x)+cos(x)+1$

a questo punto scomponi con il trinomio notevole. Hai:
$t=cos(x)$
$s=1$
$p=-2$

quindi i due numeri in cui "frantumare" il termine centrale (quello di primo grado) saranno:

$(1+-sqrt(1-4*(-2))=)/2=(1+-3)/2$

in definitiva avrai

$-2cos^2(x)+cos(x)+1=-2cos^2(x)+2cos(x)-cos(x)+1=$

$=2cos(x)*(-cos(x)+1)+1*(-cos(x)+1)=$

$=(-cos(x)+1)*(2cos(x)+1)=(2*cos(x)+1)*(1-cos(x))$

Hai perciò trovato che

$cos(x)-cos(2x)=(2cos(x)+1)*(1-cos(x))$

Vai a sostituire nella relazione iniziale:

$f(x)=(cos(x)-cos(2x))/(1-cos(x))=((2cos(x)+1)*(1-cos(x)))/(1-cos(x))$

Il denominatore si annulla solo per $x=2kpi$ che sono casi non interessanti a livello di trattazione (se non per calcolare un eventuale limite in $x=0$, cosa che probabilmente il problema chiede anche se non lo hai scritto)

Pertanto semplifichi e ottieni:

$f(x)=2*cos(x)+1$

[ZfreS]

Grazie mille, adesso ho capito! Il resto dei conti sono riuscito a farlo.