Radice quadrata di un numero complesso al quadrato

[BayMax]

Buonasera a tutti ! Ancora una volta mi rivolgo a voi per un dubbio che mi è sorto durante lo svolgimento di un'espressione coi numeri complessi. So che $sqrt(x^2)=|x|$ con $x in R $ poiché una radice di indice pari per definizione mi restituisce un numero positivo (ed è il motivo per cui si mette il doppio segno $ +- $ nella risoluzione di equazioni di secondo grado fuori dalla radice). Ma nel campo dei complessi, è lecito scrivere $sqrt(z^2)=z$ con $ z in C $ ? Oppure continua a valere $sqrt(z^2)=|z|$ ? Ed in quest'ultimo caso $|z|$ indica anche l'argomento di z ? Provando i calcoli con un qualsiasi numero complesso direi che non è vera nessuna delle due, in quanto devo avere due radici (per il teorema fondamentale dell'algebra) che trovo usando la notazione trigonometrica (od esponenziale). Ecco, chiedo a voi, gentilmente, di illuminarmi su questi miei dubbi, ringraziando in anticipo quanti risponderanno.

Saluti

[@melia]

La radice quadrata di un numero complesso ha 2 soluzioni, quindi $sqrt(z^2)=+-z$

[BayMax]

Grazie della risposta @melia ! In effetti mi sono reso conto di aver fatto una domanda decisamente banale. Inoltre avrei dovuto essere più preciso in quanto il mio dubbio riguarda non le radici quadrate in particolare, ma, in generale, le radici di indice pari, ad esempio $root(6)(z^6)$. La mia domanda era: non è lecito scrivere $root(6)(z^6)=z$ giusto ? in quanto, per il teorema fondamentale dell'algebra una radice di indice n prevede n soluzioni. Dico bene ? Per eseguire $root(6)(z^6)$ bisogna prima svolgere la potenza trasformando, ad esempio, il numero in forma trigonometrica e, solo successivamente, svolgere la radice sesta. E' corretto ? O esiste un metodo più veloce per risolvere esercizi di questo tipo ?

Saluti

[@melia]

Esiste una via più veloce? Ni. Nel senso che una radice l'hai già, che è $z$, anzi visto che vuoi distinguere tra indici pari e dispari (perché?), ne hai già due di radici $-z$ e $+z$, le altre mancanti si possono trovare facendo ruotare $z$ di un sesto dell'angolo giro in senso orario e poi in senso antiorario, quindi fai ruotare $-z$ allo stesso modo. A volte questa cosa esce immediata, altre volte la via descritta da te è l'unica possibilità.
Ho parlato di un sesto dell'angolo giro perché hai scritto la radice sesta.